Oblicz równanie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
misiek1324
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 10 kwie 2011, o 16:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 2 razy

Oblicz równanie

Post autor: misiek1324 »

Witam serdecznie.
Polecenie brzmi następująco jak w temacie. Równanie to:
\(\displaystyle{ z^3+i^{33}=0}\)
Wiem że:
\(\displaystyle{ z=(a+ib)}\)
Założyłem że \(\displaystyle{ i^{33} = -i^3}\)
Zatem czy można użyć takiego wzoru:
\(\displaystyle{ z^3-i^3=0}\)
\(\displaystyle{ (z+1)(z^2-iz-1)=0}\)
Co daje nam:
\(\displaystyle{ z=-1 \vee \Delta = 5 \Rightarrow z _{1}= \frac{1- \sqrt{5} }{2} \vee z _{2}= \frac{1+ \sqrt{5} }{2}}\)
Przeszukałem kilka stron szukajki ale niestety nie jestem w stanie zrozumieć jak obliczyć to równanie innym sposobem co zapewne jest wskazane.
Za wszelką pomoc dziękuje.
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2011, o 19:44 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: symbol delty to \Delta
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Oblicz równanie

Post autor: norwimaj »

misiek1324 pisze: Założyłem że \(\displaystyle{ i^{33} = -i^3}\)
Nie założyłeś, tylko zauważyłeś.
misiek1324 pisze: Przeszukałem kilka stron szukajki ale niestety nie jestem w stanie zrozumieć jak obliczyć to równanie innym sposobem co zapewne jest wskazane.
Inna metoda to wzór de Moivre'a.
misiek1324
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 10 kwie 2011, o 16:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 2 razy

Oblicz równanie

Post autor: misiek1324 »

norwimaj pisze:
Nie założyłeś, tylko zauważyłeś.

;)
Robiąc wzorem Moivre'a:
\(\displaystyle{ \left| Z\right| =1 \\
z^3=\left| z\right|^3 \left[ \cos \left( 3 \cdot \frac{ \pi }{2} \right) +i\sin \left( 3 \cdot \frac{ \pi }{2} \right) \right] \\
z^3= \left[ \cos \frac{3 \pi }{2} + i\sin \frac{3 \pi }{2} \right]}\)

I co dalej?
Pozdrawiam
Edit:
\(\displaystyle{ z^3=0-1=-1}\)
Lecz jak wyciągnąć pozostałe dwa pierwiastki jest dla mnie tajemnicą.
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2011, o 19:46 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a, symbol mnozenia to \cdot
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Oblicz równanie

Post autor: norwimaj »

Jeszcze nie skorzystałeś z tego wzoru. Jaki może być argument liczby \(\displaystyle{ z}\), żeby zaszła równość \(\displaystyle{ z^3=\cos \frac{3 \pi }{2} + i\sin \frac{3 \pi }{2}}\)?
misiek1324
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 10 kwie 2011, o 16:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 2 razy

Oblicz równanie

Post autor: misiek1324 »

norwimaj pisze:Jeszcze nie skorzystałeś z tego wzoru. Jaki może być argument liczby \(\displaystyle{ z}\), żeby zaszła równość \(\displaystyle{ z^3=\cos \frac{3 \pi }{2} + i\sin \frac{3 \pi }{2}}\)?
Nie mam niestety pojęcia jaka jest odpowiedź na pytanie. Czy po prostu mam obliczyć \(\displaystyle{ \varphi=..}\)?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Oblicz równanie

Post autor: norwimaj »

Załóż, że \(\displaystyle{ z=\cos\varphi+i\sin\varphi}\) (skoro już zauważyłeś, że \(\displaystyle{ |z|=1}\)). Przepisz teraz równanie \(\displaystyle{ z^3=\cos \frac{3 \pi }{2} + i\sin \frac{3 \pi }{2}}\) podstawiając do niego ten \(\displaystyle{ z}\).
ODPOWIEDZ