Rozwiązanie równań zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
pablu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 13 kwie 2011, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Rozwiązanie równań zespolonych

Post autor: pablu »

Witajcie
Pomożecie mi rozwiązać poniższe równania. Nie wiem jak mam to ugryźć.

1) \(\displaystyle{ ( 2+3i ) \cdot z = (-1+i)^{25}}\)
2) \(\displaystyle{ {z^3} +i = 0}\)
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Rozwiązanie równań zespolonych

Post autor: pyzol »

\(\displaystyle{ (-1+i)^{25}}\)
Policzysz ze wzoru de Moivre'a lub, korzystasz z tego:
\(\displaystyle{ (i-1)^2=-1-2i+1=-2i\\
(i-2)^4=(-2i)\cdot(-2i)=-4}\)
.
Dalej tak jak w złykłym równaniu dzielisz stronami przez (2+3i) i masz wynik.
Oczywiście, dobrze byłoby usunąć liczbę urojoną z mianownika.
pablu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 13 kwie 2011, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Rozwiązanie równań zespolonych

Post autor: pablu »

Próbowałem za pomocą wzoru Moivre'a i wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ (-1+i)^{25}=( \sqrt{2})^{25} (\cos \frac{25 \cdot \pi}{4} + i \sin \frac{25 \cdot \pi}{4})}\)
dalej nie wiem co z tym zrobić.

Jeśli chodzi o drugi przykład to nie będzie tak szło?:

\(\displaystyle{ z^{3}+i=0}\) \(\displaystyle{ z^{3}=-i}\) to \(\displaystyle{ i=(0,-1)}\) ????
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Rozwiązanie równań zespolonych

Post autor: pyzol »

To wzory redukcyjne zastosuj. Ja tam jestem za drugą metodą.
Jeśli chodzi o drugie to tak, zamień teraz -i na postać trygonometryczną,.
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Rozwiązanie równań zespolonych

Post autor: alfgordon »

\(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{ -i}}\)

\(\displaystyle{ -i =1 (\cos \frac{3 \pi}{2} +i \sin \frac{3 \pi}{2})}\)

ze wzoru de Moivre'a wyliczysz:
ODPOWIEDZ