Podac intepretacje geometryczna liczby zepsolonej

[freeloser91]

Witam,
Mam problem z zadaniem - podac interpretacje geometryczna modulu liczby zespolonej.
\(\displaystyle{ |\frac{z-2i}{z+1}|=1}\)

Mam problem z wybraniem wlasciwej strategi, aby uproscic wyrazenie. Za z podstawiam:
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
Otrzymam:
\(\displaystyle{ |\frac{x+1\left(y-2\right)}{z+1+iy}|=1}\)
Wydaje mi sie, ze w tym momencie powinienem pozbyc sie zespolnosci w mianowniku mnozac przez sprzezenie. Jest to niewydodne rachunkowo, czy mozna jakos prosciej?

EDIT: chyba wiem, potraktuje moduly oddzielnie, otrzymalem:
\(\displaystyle{ x^2+(y-2)^2=(x+1)^2+y^2}\)

Pozdrawiam,

[Dasio11]

Można.

\(\displaystyle{ \left| \frac{z - 2 \mbox i}{z+1} \right| = 1 \Leftrightarrow |x-2 \mbox i| = |z+1|}\)

więc interpretacją geometryczną będzie zbiór liczb zespolonych jednakowo oddalonych od \(\displaystyle{ 2 \mbox i}\) oraz \(\displaystyle{ -1.}\) Potrafisz taki zbiór narysować?

[freeloser91]

Do rownania ktore podales wstawilem z=x+iy otrzymujac to co mialem wczesniej. Nastepnie zapisalem tak:
\(\displaystyle{ |\sqrt{x^2+(y-2)^2}|=|\sqrt{(x+1)^2+y^2}}|}\)
Calosc zostala uproszczona po podniesieniu do kwadratu i otrzymalem rownanie prostej.

Poki co mam cos takiego:
\(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}}\)

Zastanawiam sie co z zalozeniem tzn. \(\displaystyle{ z\neq -1}\)

To mi wyglada na prosta.

[Dasio11]

OK, poprawnie, ale wcale nie trzeba było podstawiać \(\displaystyle{ z=x+y \mbox i}\) - wystarczyło skorzystać z interpretacji geometrycznej modułu.
\(\displaystyle{ z \neq -1,}\) czyli do zbioru rozwiązań nie może należeć punkt \(\displaystyle{ (-1, 0).}\) To założenie jest spełnione przez każdy punkt prostej, więc cała prosta jest OK.

[freeloser91]

Dzieki.