Obraz prostej przez inwersję

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

Obraz prostej przez inwersję

Post autor: kristoffwp »

Niech dana będzie na płaszczyźnie zespolonej prosta
\(\displaystyle{ k: \ z(t)=z_{0}+z_{1}t, \ z_{0},z_{1}\in \mathbb{C}, \ t\in \mathbb{R}}\).
Zakładamy, że \(\displaystyle{ 0 \not\in k}\). Co jest obrazem prostej \(\displaystyle{ k}\) w inwersji, tj odwzorowaniu
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{z}}\) ?

Proszę o wskazówkę, jak wyprowadzić równanie odpowiedniej krzywej. Będzie to okrąg (nie wiem czy zawsze), wyobraziłem to sobie na szczególnym przypadku. Pytanie jak dojść do tego jaki to okrąg i dlaczego.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Obraz prostej przez inwersję

Post autor: norwimaj »

Nie wiem, czy temat jeszcze aktualny. Z tego co pamiętam, da się to zrobić jakoś rachunkowo, ale nie przypomnę sobie w tej chwili, jak konkretnie. Za to przypomniał mi się taki fakt: 243548.htm

Na jego podstawie od razu widać, że obraz prostej zawiera się w okręgu albo w prostej:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{z(t_1)}-\frac{1}{z(t_3)}}{\frac{1}{z(t_2)}-\frac{1}{z(t_3)}}\cdot
\frac{\frac{1}{z(t_2)}-\frac{1}{z(t_4)}}{\frac{1}{z(t_1)}-\frac{1}{z(t_4)}}=
\frac{z(t_3)-z(t_1)}{z(t_3)-z(t_2)}\cdot\frac{z(t_4)-z(t_2)}{z(t_4)-z(t_1)}\in\mathbb{R}}\)
.

Tak samo obraz okręgu zawiera się w jakiejś prostej (z punktem w nieskończoności) lub w okręgu. To razem z faktem, że \(\displaystyle{ f(f(z))=z}\) daje nam tezę.

Żeby sprawdzić, jaki okrąg wyjdzie, to podstawiamy trzy dowolne punkty. Naprawdę wystarczy podstawić dwa punkty: \(\displaystyle{ \infty}\) (zawsze przejdzie na \(\displaystyle{ 0}\)) oraz punkt znajdujący się najbliżej środka układu współrzędnych. Obrazy tych punktów są końcami średnicy.

Można sprawdzić, że jeśli \(\displaystyle{ 0 \not\in k}\), to obrazem nie jest prosta.

Jeszcze kwestia nazewnictwa. Odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\) nie jest dokładnie inwersją. To jest inwersja złożona z symetrią względem osi rzeczywistej.
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

Obraz prostej przez inwersję

Post autor: kristoffwp »

Ja już temat rozgryzłem, ale rachunków nie poprowadziłem do końca. Wyznaczyłem, tak jak piszesz, obraz punktu\(\displaystyle{ \infty}\) i punktu prostej znajdującego się najbliżej punktu (0,0). Generalnie koncepcja jest prosta. Biorę środek tej cięciwy, niech to będzie punkt \(\displaystyle{ w_{0}}\). Wystarczy pokazać, że:
\(\displaystyle{ \forall_{t\in \mathbb{R}}\left| \frac{1}{z(t)}-w_{0} \right|=R=const}\)
ODPOWIEDZ