Oblicz
\(\displaystyle{ z = (1 + i)^{i}}\)
Podaj moduł i argument z.
Proszę o jakieś nakierowanie na sposób w jaki można rozwiązać to zadanie.
Oblicz liczbę zespoloną
-
mrsemily
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
Oblicz liczbę zespoloną
Nie wiem jak mogłabym z tego skorzystać.
Próbuję rozwiązać to w następujący sposób:
\(\displaystyle{ w=1+i
\left| w\right| = \sqrt{2}, Argw= \frac{ \pi }{4}
w^i=(1+i)^i=z
w^i=( \sqrt{2} exp(i \frac{ \pi }{4} ))^i = (2)^\frac{i}{2} exp(- \frac{ \pi }{4} )}\)
Jednak nie wiem jak zastąpić moduł liczby z, z powyższych obliczeń wynika, że jest on równy \(\displaystyle{ (2)^\frac{i}{2}}\).
Ze wzoru:
\(\displaystyle{ z=e^{\text i\ln\left(1+\text i\right)}}\)
wynika, że
\(\displaystyle{ \left| z\right| = 1
Argz = ln(1+i)}\)
Gdzie robię błąd?
Próbuję rozwiązać to w następujący sposób:
\(\displaystyle{ w=1+i
\left| w\right| = \sqrt{2}, Argw= \frac{ \pi }{4}
w^i=(1+i)^i=z
w^i=( \sqrt{2} exp(i \frac{ \pi }{4} ))^i = (2)^\frac{i}{2} exp(- \frac{ \pi }{4} )}\)
Jednak nie wiem jak zastąpić moduł liczby z, z powyższych obliczeń wynika, że jest on równy \(\displaystyle{ (2)^\frac{i}{2}}\).
Ze wzoru:
\(\displaystyle{ z=e^{\text i\ln\left(1+\text i\right)}}\)
wynika, że
\(\displaystyle{ \left| z\right| = 1
Argz = ln(1+i)}\)
Gdzie robię błąd?
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Oblicz liczbę zespoloną
Błąd jest w tym, że argument i moduł liczby zespolonej muszą być liczbami rzeczywistymi. To, że coś jest zapisane jako e do jakiejśtam potęgi, to nie oznacza jeszcze, że to jest postać wykładnicza liczby zespolonej.
Skoro już przekształciłaś w ten sposób, no to masz \(\displaystyle{ (2)^{\frac{i}{2}}=e^{i \cdot \frac{\ln 2}{2}}}\), czyli ostatecznie \(\displaystyle{ z=e^{-\frac{\pi}{4}} \cdot e^{i \cdot \frac{\ln 2}{2}}=e^{-\frac{\pi}{4}} \cdot \left( \cos \left( \frac{\ln 2}{2} \right) +i\sin \left( \frac{\ln 2}{2} \right) \right)}\). Już widać?
Skoro już przekształciłaś w ten sposób, no to masz \(\displaystyle{ (2)^{\frac{i}{2}}=e^{i \cdot \frac{\ln 2}{2}}}\), czyli ostatecznie \(\displaystyle{ z=e^{-\frac{\pi}{4}} \cdot e^{i \cdot \frac{\ln 2}{2}}=e^{-\frac{\pi}{4}} \cdot \left( \cos \left( \frac{\ln 2}{2} \right) +i\sin \left( \frac{\ln 2}{2} \right) \right)}\). Już widać?
Oblicz liczbę zespoloną
ja nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ 2^{\frac{\text i}{2}}}\) to \(\displaystyle{ \exp\left(\text i\frac{\ln2}{2}\right)}\)...
proszę o wyjaśnienie.
proszę o wyjaśnienie.
