Najlepszy sposób na obliczanie argumentu liczby zespolonej

[trd]

Jaki jest, Waszym zdaniem, najlepszy sposób na obliczenie argumentu liczby zespolonej, gdy mamy podaną jej postać "standardową" (\(\displaystyle{ z = x + iy}\))? Mam kilka zadań, w których mam wyznaczyć moduł i fazę liczb zespolonych (np. \(\displaystyle{ -1-\sqrt{3}i}\)), ale nie wiem w jaki sposób najlepiej to zrobić.

Dziękuję,
trd

[Afish]

Układ równań dwóch funkcji trygonometrycznych. Można też spróbować odczytać z rysunku, jeżeli kąt jest jakiś łatwo zjadliwy.

[Dasio11]

Można też szukać kąta \(\displaystyle{ \varphi=\arg (x+y \mbox i)}\) takiego, że \(\displaystyle{ \tg \varphi = \frac{y}{x}}\) i potem zweryfikować, który ze znalezionych będzie ok.

[Quaerens]

Jaki jest, Waszym zdaniem, najlepszy sposób na obliczenie argumentu liczby zespolonej, gdy mamy podaną jej postać "standardową" (\(\displaystyle{ z = x + iy}\))? Mam kilka zadań, w których mam wyznaczyć moduł i fazę liczb zespolonych (np. \(\displaystyle{ -1-\sqrt{3}i}\)), ale nie wiem w jaki sposób najlepiej to zrobić.

Dziękuję,
trd

Podaj przykład to Ci go rozpiszę.

[trd]

Jedyne znane mi sposoby to wyobrażenie sobie punktu na płaszczyźnie i jeśli jest to oczywisty punkt, typu (1,0), (1,1) itp., to oczywiście \(\displaystyle{ \phi}\) będzie wynosił odpowiednio \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)...

Drugi sposób pochodzi stąd: ... zespolonej

Chodziło mi o to, czy, znając te sposoby, można jakoś ułatwić sobie życie (inaczej, niż po prostu zapamiętując wartości arctg dla poszczególnych \(\displaystyle{ \frac{b}{a}}\)).

[Marcinek665]

Zdefiniujmy pojęcie dzikiej liczby zespolonej. Oznaczać ją będziemy jako \(\displaystyle{ z_{d}}\). Cechą charakterystyczną dzikich liczb zespolonych jest to, że mają dziki argument.

Przykład:

\(\displaystyle{ z_{d} = 3 + i\sqrt{2}}\)

I jak stąd w dokładny sposób obliczyć takowy dziki argument? Funkcje cyklometryczne dadzą tylko przybliżenie, a ja bym chciał ładny wynik postaci \(\displaystyle{ \frac{x}{\pi}}\). Jest to jakoś wykonalne dla zwykłych śmiertelników?

[norwimaj]

Przykład:

\(\displaystyle{ z_{d} = 3 + i\sqrt{2}}\)

Funkcje cyklometryczne dadzą tylko przybliżenie

Dlaczego tak twierdzisz? Można podać dokładny wynik. Jest to \(\displaystyle{ \arc\tg\frac{\sqrt{2}}{3}}\). Jeśli zaś chodzi Ci o rozwinięcie dziesiętne tej liczby, to podejrzewam że nie uda Ci się go do końca wypisać, chyba że każdą następną cyfrę będziesz pisał dwa razy szybciej niż poprzednią.

[Marcinek665]

Oczywiście, że jest to wartość dokładna, ale taka postać tej liczby jest całkowicie bezużyteczna. Jeśli twierdzisz inaczej, to podnieś moją dziką liczbę zespoloną do potęgi chociażby 20 przy pomocy pana de Moivre'a.

[norwimaj]

To w tym kontekście odpowiem na pytanie.

Jest to jakoś wykonalne dla zwykłych śmiertelników?

Przypuszczam, że nie.

Jeśli chcemy numerycznie policzyć \(\displaystyle{ (3 + i\sqrt{2})^{20}}\), czy też \(\displaystyle{ (3 + i\sqrt{2})^{2011}}\), to chyba lepiej to zrobić bezpośrednio. W końcu to tylko kilkanaście, no może kilkadziesiąt mnożeń.

[dawid91]

Sorki że odświeżam, ale mam podobny problem co autor tematu.

Można też szukać kąta \(\displaystyle{ \varphi=\arg (x+y \mbox i)}\) takiego, że \(\displaystyle{ \tg \varphi = \frac{y}{x}}\) i potem zweryfikować, który ze znalezionych będzie ok.

Na czym polega ta weryfikacja, bo ten sposób z \(\displaystyle{ \arctan}\) wydaje mi się najlepszy.
Mamy liczbę np. \(\displaystyle{ z=100-100i}\)
więc
\(\displaystyle{ \varphi=\arctan \frac{-100}{100}= -45}\)
Co tu więcej weryfikować?

[Winged]

Chodzi o przedział w którym się argument znajduje. Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ z_{1} = 1 + i}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = -1 - i}\)
\(\displaystyle{ \frac{b_{1}}{a_{1}} = \frac{b_{2}}{a_{2}} = 1}\)
Jednakże wiemy, że:
\(\displaystyle{ \arg(z_{1}) \in \left( 0 ; \frac{ \pi }{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \arg(z_{2}) \in \left( \pi ; \frac{3 \pi }{2} \right)}\)
Dlatego możemy(to o tą weryfikację raczej chodzi) stwierdzić:
\(\displaystyle{ \arg(z_{1}) = \arctan(1) = \frac{ \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ \arg(z_{2}) = \arctan(1) + \pi = \frac{5 \pi }{4}}\)