Kilka zadań z liczb zespolonych...

[fiku15]

Witam potrzebuje waszej pomocy przy tych zadaniach:) pomożecie??:) pozdrawiam serdecznie:)

oto te zadania:

1) wykonaj działania:
\(\displaystyle{ \frac{(2+3i)(2-7i)}{1-i}}\)
2) Oblicz \(\displaystyle{ i^{n}}\) dla n naturalnych.
3) korzystając ze wzorów de Moivre'a oblicz:
\(\displaystyle{ (1+i)^{12}}\)
4) rozwiąż równania :
\(\displaystyle{ z^{4} -3z ^{2} +4=0}\)
5) wyznacz pierwiastki kwadratowe z liczb:
\(\displaystyle{ 2+7i}\)
6) rozwiąż:
\(\displaystyle{ e^{z} = 1+i \sqrt{3}}\)
7) oblicz pierwiastki :
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\)
8) obliczyć sumę \(\displaystyle{ \sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx}\).

Proszę o pomoc:)

[szw1710]

6. \(\displaystyle{ z=x+iy}\), więc \(\displaystyle{ e^z=e^x(\cos y+i\sin y)}\). Zatem

\(\displaystyle{ e^z=1+i\sqrt{3}\iff e^x\cos y=1\;\vee\;e^x\sin y=\sqrt{3}}\).

Rozwiąż ten układ równań (\(\displaystyle{ x,y}\) to liczby rzeczywiste). Z powyższych równań widzimy, że musi być \(\displaystyle{ \cos y>0,\;\sin y>0}\). Dzieląc jedno równanie przez drugie dochodzimy do \(\displaystyle{ \tg y=\sqrt{3}}\), a więc \(\displaystyle{ y=\frac{\pi}{3}+k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą całkowitą. Stąd (wobec dodatniości sinusa i cosinusa) mamy \(\displaystyle{ \cos y=\frac{1}{2}}\), więc \(\displaystyle{ e^x\cos y=1}\) daje nam \(\displaystyle{ e^x=2}\), skąd \(\displaystyle{ x=\ln 2}\).

Ostatecznie \(\displaystyle{ z=x+iy=\ln2+i\Bigl(\frac{\pi}{3}+k\pi\Bigr)}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą całkowitą.