Liczby zespolone - wykonać działanie

[petro]

\(\displaystyle{ \frac{(-sin \alpha +isin \alpha)^5}{-1+i \sqrt{3}}}\)

Mam problem z tym zadaniem i nie bardzo wiem jak się za nie zabrać. W mianowniku myślę przejść do postaci trygonometrycznej i wyznaczyć wartość dla tej liczby zespolonej, ale co z licznikiem?

[kristoffwp]

Wyłącz \(\displaystyle{ sin^{5} \alpha}\)w liczniku i przejdź z tym co zostanie do postaci trygonometrycznej(ew wykładniczej)

[petro]

\(\displaystyle{ \frac{(-sin \alpha +isin \alpha)^5}{-1+i \sqrt{3}} = \frac{(-sin^5 \alpha + isin^5 \alpha)}{-1+i \sqrt{3}} = \frac{sin^5 \alpha (-1 + i)}{-1+i \sqrt{3}}}\)

W ten sposób mam podnieść licznik do 5-potęgi czy skorzystać z wzoru \(\displaystyle{ (a+b)^5}\)?

[kristoffwp]

\(\displaystyle{ \frac{(-sin \alpha +isin \alpha)^5}{-1+i \sqrt{3}}=\frac{sin^5 \alpha (-1+i)^5}{-1+i \sqrt{3}}}\)

Weź się zastanów nad tym, co napisałeś. Bardzo poważny błąd.

[petro]

\(\displaystyle{ \frac{(-sin \alpha +isin \alpha)^5}{-1+i \sqrt{3}} = \frac{(-sin^5 \alpha - isin^5 \alpha)}{-1+i \sqrt{3}} = \frac{sin^5 \alpha (-1 - i)}{-1+i \sqrt{3}}}\)

Zapomniałem o podniesieniu do 5-tej potęgi \(\displaystyle{ i}\). Czy o to chodziło? Co dalej powinienem zrobić?

[JakimPL]

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 \neq (a + b)^2}\)

To samo z innymi potęgami.

[petro]

Tak, przepraszam mój błąd:(

Zastosowałem wspomniany wzór, wyłączyłem \(\displaystyle{ sin^5 \alpha}\) przed nawias i o ile się nie pomyliłem w obliczeniach wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{sin^5 \alpha (3-5i)}{-1+i \sqrt{3}}}\)

Co dalej z tym zrobić? Nie mam pojęcia co zrobić z tym \(\displaystyle{ sin^5 \alpha}\) w liczniku, aby móc te liczby zespolone przez siebie podzielić.

[Crizz]

A nie prościej było nie podnosić do tej piątej potęgi, tylko zamienić tę liczbę w nawiasie w liczniku oraz liczbę w mianowniku na postać trygonometryczną?

Poza tym wynik w liczniku się nie zgadza.

[petro]

Właśnie nie mam pojęcia jak z czegoś takiego przejść do postaci trygonometrycznej.

[Crizz]

Jak przejść z \(\displaystyle{ -1-i}\) na postać trygonometryczną? Tu masz wzory: page.php?p=kompendium-liczby-zespolone

[petro]

Domyślam się, że nie podnoszę do potęgi, wyłączam sinusa przed nawias i to co zostanie w nawiasie przedstawiam w postaci trygonometrycznej. Co dalej? Podnoszę do potęgi tą postać trygonometryczną? Co zorbić później z tym sinusem przed nawiasem?

[Crizz]

Z sinusem przed nawiasem już nic, a w czym Ci on przeszkadza?

Korzystasz ze wzoru na potęgowanie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej: jeśli \(\displaystyle{ z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)}\), to \(\displaystyle{ z^{n}=|z|^n (\cos n\varphi+i \sin n\varphi)}\).

[petro]

Wychodzi mi coś takiego: \(\displaystyle{ \frac{sin \alpha (4 \sqrt{2} (cos \frac{15}{4} \pi + isin \frac{15}{4} \pi))}{2(cos \frac{2}{3} \pi + isin \frac{2}{3})}}\) i dalej nie wiem co zrobić. Niby powinno się moduły podzielić, a argumenty dodać, ale gdy to robię wychodzą mi jakieś rzeczy z kosmosu.

[Crizz]

Niby powinno się moduły podzielić, a argumenty dodać

A nie odjąć?

Rozumiem, że wyszedł Ci argument równy \(\displaystyle{ \frac{3}{4}\pi}\), ale przecież \(\displaystyle{ \sin\frac{3}{4}\pi >0}\).

Kąt wychodzi, zdaje się \(\displaystyle{ 105^\circ}\) - jeśli bardzo chcesz, to możesz znaleźć wartość funkcji trygonometrycznych takiego kąta w postaci algebraicznej (\(\displaystyle{ 105=180-75}\), a wartości funkcji trygonometrycznych \(\displaystyle{ 75^\circ}\) łatwo wyznaczyć ze wzorów na sinus i cosinus sumy kątów - tutaj \(\displaystyle{ 30^\circ+45^\circ}\)).

Jeśli taka droga Ci nie odpowiada, to możesz wrócić do zwykłego podnoszenia do piątej potęgi (ale - tak jak już powiedziałem - poprzedni wynik się nie zgadza).