Wykonać działania

[freeloser91]

Witam,
Mam problem z zadaniami, raczej jednym i z tych najproszych. Nie wiem co robie zle.

Polecenie: wykonac dzialania

a) \(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\right)^2}\)

\(\displaystyle{ \left[\frac{1}{2}\left( -1 + 3i \right)\right]^2=\frac{1}{4}\left( 1 - 6i - 9 \right)=\frac{1}{4}\left( - 6i - 8 \right)=-\frac{3}{2}i-2}\)

Prawidłowa odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{5}{2}-\frac{3}{2}i}\)

Wydaje mi sie, ze jest OK.

b) \(\displaystyle{ x=\left( 1 + i\sqrt{3}\right)^{1978}}\)
\(\displaystyle{ z=1 + i\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \left|z\right|=2}\)
Metoda graficzna znajduje \(\displaystyle{ Arg z}\).
\(\displaystyle{ \phi = \frac{\pi}{3}}\)
Zapisuje postac trygonometryczna:
\(\displaystyle{ z=2\left(cos\left( \frac{\pi}{3} \right) + i sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)
Korzystam z wzoru de Moivre'a.
\(\displaystyle{ x=2^{1978} \left(cos\left(1978 \frac{\pi}{3} \right) + i sin\left(1978 \frac{\pi}{3} \right) \right)=2^{1978}\left(cos\left( \frac{\pi}{3} \right) + i sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)=2^{1978}e^{i\frac{\pi}{3}}}\)

W zasadzie policzylem, nie wiem czy dobrze. W jaki sposob najprosciej zamienic postac wyklanicza na algebraiczna nie uzywajac kalkulatora?

Oficjalna odpowiedz do b:
\(\displaystyle{ -2^{1977}-i2^{1777}\sqrt{3}}\)

Pozdrawiam,

[klaustrofob]

a) dobrze
b) prawie dobrze. otóż: \(\displaystyle{ 1978\frac{\pi}{3}=658\pi+\frac{4\pi}3}\) dlatego \(\displaystyle{ x=2^{1978}(\cos\frac{4\pi}3}+\sin\frac{4\pi}{3})=-2^{1977}-i2^{1997}\sqrt{3}}\)

[freeloser91]

Dzieki.