wykazanie nierówności

darek20 · Post autor: **darek20** » 19 mar 2011, o 18:22

Niech a, b zespolone takie ze \(\displaystyle{ |a| \le 1}\). Pokaż że

\(\displaystyle{ (1 - Im(a \cdot b))^{2} \ge (|a|^{2} - 1)(|b|^{2} - 1)}\)

marcinz · Post autor: **marcinz** » 19 mar 2011, o 20:42

Podstaw \(\displaystyle{ a=a_1+i a_2, b=b_1+i b_2}\) i uprość to co się da.

darek20 · Post autor: **darek20** » 19 mar 2011, o 21:10

próbowałem tak ale nic nie zauwazam dalej

marcinz · Post autor: **marcinz** » 19 mar 2011, o 21:46

To może napisz do jakiej postaci doszedłeś. Zauważ też, że dla liczb \(\displaystyle{ b}\) takich, że \(\displaystyle{ |b|>1}\) nierówność jest oczywista, więc możesz się ograniczyć do \(\displaystyle{ |b| \le 1}\).

timon92 · Post autor: **timon92** » 19 mar 2011, o 22:12

po podstawieniu marcinza nierówność można przekształcić do takiej: \(\displaystyle{ (a_1-b_2)^2 + (b_1-a_2)^2 \ge (a_1b_1-a_2b_2)^2}\)

jednakże mamy \(\displaystyle{ 1 \ge a_1^2+a_2^2}\), więc

\(\displaystyle{ (a_1-b_2)^2 + (b_1-a_2)^2 \ge (a_1^2+a_2^2)((a_1-b_2)^2 + (b_1-a_2)^2) = \\ (a_1^2+a_2^2-a_1b_2-b_1a_2)^2 + (a_1b_1-a_2b_2)^2 \ge (a_1b_1-a_2b_2)^2}\)