Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych

[morfeusz747]

Witam,

Teraz mam zadanie takiego typu:

\(\displaystyle{ z^{3}+1=0}\)

i wiem że potem robię tak:

\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{-1}}\)

ale co dalej?

[rtuszyns]

Normalnie liczysz ze wzoru de Moivre'a

[morfeusz747]

Normalnie liczysz ze wzoru de Moivre'a

ale najpierw trzeba wyznaczyć ten kąt "fi"? Bo jeśli tak to z tego nie mam pojęcia jak go wyliczyć

[Crizz]

\(\displaystyle{ -1=-1+0 \cdot i}\)
\(\displaystyle{ |-1|=1}\)
We wzorze na postać trygonometryczną masz \(\displaystyle{ z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)}\), czyli:
\(\displaystyle{ -1=\cos\alpha+i \cdot \sin\alpha}\).
W takim razie ile musi wynosić \(\displaystyle{ \cos\alpha,\sin\alpha}\)?

Nie musisz korzystać z postaci trygonometrycznej, jeśli nie chcesz. Możesz, mając wyjściowe równanie, zastosować wzór skróconego mnożenia.

[morfeusz747]

yy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) i \(\displaystyle{ 0}\)? no nie wiem

[spartakussowlany]

jeśli masz tylko wyznaczyć \(\displaystyle{ z}\) to są dwa proste wzory albo tak jak ty zacząłeś

\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{-1}}\)
\(\displaystyle{ z=-1}\)
albo zrób to ze wzoru skróconego mnożenia \(\displaystyle{ a ^{3}+1=\left( a+1\right)\left( a ^{2}-a+1 \right)}\)
po czym z pierwszego nawiasu wyjdzie ci \(\displaystyle{ z=-1}\) a zdrugiego nawiasu liczysz delte wychodzi ujemna i to oznacza że brak rozwiązań czyli tylko rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ z=-1}\)

[Crizz]

a zdrugiego nawiasu liczysz delte wychodzi ujemna i to oznacza że brak rozwiązań

Halo, jesteśmy w liczbach zespolonych, z ujemnych liczb też liczymy pierwiastki.

morfeusz747, na razie pytałem o wartości sinusa i cosinusa potrzebne do wzoru, nie o kąt.