Równanie z liczbą zespoloną
-
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 25 sty 2011, o 13:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Pomógł: 1 raz
Równanie z liczbą zespoloną
Czy ktoś ma pomysł na rozwiązanie równania?
\(\displaystyle{ z^{3} +27i=0}\)
\(\displaystyle{ z^{3} +27i=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Równanie z liczbą zespoloną
1) Najszybciej chyba skorzystać z \(\displaystyle{ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)\left(\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right)}\).
To od razu daje \(\displaystyle{ 0=z^3+27i=(z-3i)\left(\left(z+\frac{3}{2}i\right)^2-\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2\right)}\) itd.
2) Obiecująco wygląda też podstawienie \(\displaystyle{ z=a+bi,\ a,b\in\mathbb{R}}\).
To od razu daje \(\displaystyle{ 0=z^3+27i=(z-3i)\left(\left(z+\frac{3}{2}i\right)^2-\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2\right)}\) itd.
2) Obiecująco wygląda też podstawienie \(\displaystyle{ z=a+bi,\ a,b\in\mathbb{R}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Równanie z liczbą zespoloną
Niech \(\displaystyle{ z=R(\cos\varphi+i\sin\varphi)}\), \(\displaystyle{ R>0}\), \(\displaystyle{ \varphi\in[0,2\pi)}\).
Wtedy \(\displaystyle{ z^3=R^3(\cos(3\varphi)+i\sin(3\varphi))}\).
Zamieniamy równanie na
\(\displaystyle{ R^3(\cos(3\varphi)+i\sin(3\varphi))=-27i=27(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2})}\),
czyli
\(\displaystyle{ R=\sqrt[3]{27}=3}\),
oraz
\(\displaystyle{ 3\varphi=\frac{3\pi}{2}+2k\pi}\).
Stąd
\(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{3}k\pi}\).
Wystarczy podstawić \(\displaystyle{ k=0,1,2}\) i wyliczyć \(\displaystyle{ z}\). Dla pozostałych \(\displaystyle{ k}\) nie jesteśmy w przedziale \(\displaystyle{ [0,2\pi)}\).
Można ewentualnie sobie to narysować i od razu zauważyć, że jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ z=3i}\).
Wtedy \(\displaystyle{ z^3=R^3(\cos(3\varphi)+i\sin(3\varphi))}\).
Zamieniamy równanie na
\(\displaystyle{ R^3(\cos(3\varphi)+i\sin(3\varphi))=-27i=27(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2})}\),
czyli
\(\displaystyle{ R=\sqrt[3]{27}=3}\),
oraz
\(\displaystyle{ 3\varphi=\frac{3\pi}{2}+2k\pi}\).
Stąd
\(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{3}k\pi}\).
Wystarczy podstawić \(\displaystyle{ k=0,1,2}\) i wyliczyć \(\displaystyle{ z}\). Dla pozostałych \(\displaystyle{ k}\) nie jesteśmy w przedziale \(\displaystyle{ [0,2\pi)}\).
Można ewentualnie sobie to narysować i od razu zauważyć, że jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ z=3i}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Równanie z liczbą zespoloną
OK, dzięki. Po prostu inaczej rozumiemy prostotę. Mnie chodziło tylko o to, że
\(\displaystyle{ 0=z^3+27i=(z-3i)\left(\left(z+\frac{3}{2}i\right)^2-\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2\right)=(z-3i)\left(z-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i\right)\left(z+\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i\right)}\)
to one-liner i z wiedzy o liczbach zespolonych do rozwiązania wykorzystuje się tylko \(\displaystyle{ i^2=-1}\), więc niełatwo mi było sobie wyobrazić prostsze rozwiązanie tego konkretnego równania. Przy wyższych potęgach zgoda - de Moivre może działać lepiej.
\(\displaystyle{ 0=z^3+27i=(z-3i)\left(\left(z+\frac{3}{2}i\right)^2-\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2\right)=(z-3i)\left(z-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i\right)\left(z+\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i\right)}\)
to one-liner i z wiedzy o liczbach zespolonych do rozwiązania wykorzystuje się tylko \(\displaystyle{ i^2=-1}\), więc niełatwo mi było sobie wyobrazić prostsze rozwiązanie tego konkretnego równania. Przy wyższych potęgach zgoda - de Moivre może działać lepiej.
-
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 25 sty 2011, o 13:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Pomógł: 1 raz
Równanie z liczbą zespoloną
Skąd tam się wzięło to:
\(\displaystyle{ \left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}}\).
???
\(\displaystyle{ \left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}}\).
???
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Równanie z liczbą zespoloną
@norwimaj - autorka wątku nie podziela mojego zdania nt. prostoty.chan_rozwielikaty pisze:Skąd tam się wzięło to:
\(\displaystyle{ \left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}}\).
???
@chan_rozwielikaty - trzeba jakoś zwinąć \(\displaystyle{ x^2-xy+y^2}\), żeby otrzymać różnicę kwadratów.
-
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 25 sty 2011, o 13:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Pomógł: 1 raz
Równanie z liczbą zespoloną
nie da się tego prościej zapisać? ja też sobie wykorzystałam wzór, ale na różnicę sześcianów:
\(\displaystyle{ z^{3} -(3i) ^{3} =(z-3i)(z ^{2} +3iz+9i ^{2}) =0}\)
czy jest to poprawny zapis"?
\(\displaystyle{ z^{3} -(3i) ^{3} =(z-3i)(z ^{2} +3iz+9i ^{2}) =0}\)
czy jest to poprawny zapis"?
Ostatnio zmieniony 16 mar 2011, o 10:31 przez chan_rozwielikaty, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Równanie z liczbą zespoloną
Wzór na różnicę sześcianów. Jest OK. To jest \(\displaystyle{ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)}\) po podstawieniu \(\displaystyle{ x=z,\ y=-3i}\), tylko po lewej stronie wyłączyłaś przed nawias \(\displaystyle{ (-1)^3=-1}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 25 sty 2011, o 13:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Pomógł: 1 raz
Równanie z liczbą zespoloną
Ten wzór który podajesz, jest na sumę sześcianów, więc po co miałabym wyłączyć minus?bosa_Nike pisze:Wzór na różnicę sześcianów. Jest OK. To jest \(\displaystyle{ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 25 sty 2011, o 13:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Pomógł: 1 raz
Równanie z liczbą zespoloną
nie chciałam Cię urazić, tylko po rpstu nie wiem, po co miałabym to robic, myślałam, że mam coś źle
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Równanie z liczbą zespoloną
Nie ma problemu, do tego potrzeba sporo więcej.chan_rozwielikaty pisze:nie chciałam Cię urazić
Jest dobrze. Teraz rozłóż wyrażenie w drugim nawiasie na różnicę kwadratów albo rozwiązuj tradycyjnie - wyróżnik, pierwiastki itd.chan_rozwielikaty pisze:\(\displaystyle{ z^{3} -(3i) ^{3} =(z-3i)(z ^{2} +3iz+9i ^{2}) =0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Równanie z liczbą zespoloną
Sam się trochę przeraziłem, że takie rozwlekłe to wyszło, ale jak się już dobrze opanuje postać trygonometryczną, to można sobie wyobrazić rysunek i wszystko widać natychmiast.bosa_Nike pisze: @norwimaj - autorka wątku nie podziela mojego zdania nt. prostoty.
To jest równanie kwadratowe, więc można zwyczajnie policzyć z delty.morfeusz747 pisze:Witam,
Możecie mi pomóc jak rozwiązać coś takiego:
z^2 + (2 + 2i)z + 1 + 2i = 0
[Info] Cytowany powyżej post został wydzielony do tematu 244769.htm
Dasio11