Równanie z liczbą zespoloną

chan_rozwielikaty · Post autor: **chan_rozwielikaty** » 16 mar 2011, o 01:18

Czy ktoś ma pomysł na rozwiązanie równania?
\(\displaystyle{ z^{3} +27i=0}\)

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 16 mar 2011, o 03:12

1) Najszybciej chyba skorzystać z \(\displaystyle{ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)\left(\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right)}\).
To od razu daje \(\displaystyle{ 0=z^3+27i=(z-3i)\left(\left(z+\frac{3}{2}i\right)^2-\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2\right)}\) itd.

2) Obiecująco wygląda też podstawienie \(\displaystyle{ z=a+bi,\ a,b\in\mathbb{R}}\).

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 16 mar 2011, o 06:11

To nie są najprostsze sposoby. Dużo łatwiej jest z postaci trygonometrycznej.

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 16 mar 2011, o 08:10

norwimaj pisze:Dużo łatwiej jest z postaci trygonometrycznej.

Aha. Znalazłbyś może chwilę na poparcie tego stwierdzenia? Dzięki z góry.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 16 mar 2011, o 08:49

Niech \(\displaystyle{ z=R(\cos\varphi+i\sin\varphi)}\), \(\displaystyle{ R>0}\), \(\displaystyle{ \varphi\in[0,2\pi)}\).
Wtedy \(\displaystyle{ z^3=R^3(\cos(3\varphi)+i\sin(3\varphi))}\).
Zamieniamy równanie na
\(\displaystyle{ R^3(\cos(3\varphi)+i\sin(3\varphi))=-27i=27(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2})}\),
czyli
\(\displaystyle{ R=\sqrt[3]{27}=3}\),
oraz
\(\displaystyle{ 3\varphi=\frac{3\pi}{2}+2k\pi}\).
Stąd
\(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{3}k\pi}\).
Wystarczy podstawić \(\displaystyle{ k=0,1,2}\) i wyliczyć \(\displaystyle{ z}\). Dla pozostałych \(\displaystyle{ k}\) nie jesteśmy w przedziale \(\displaystyle{ [0,2\pi)}\).

Można ewentualnie sobie to narysować i od razu zauważyć, że jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ z=3i}\).

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 16 mar 2011, o 09:22

OK, dzięki. Po prostu inaczej rozumiemy prostotę. Mnie chodziło tylko o to, że

\(\displaystyle{ 0=z^3+27i=(z-3i)\left(\left(z+\frac{3}{2}i\right)^2-\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2\right)=(z-3i)\left(z-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i\right)\left(z+\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i\right)}\)

to one-liner i z wiedzy o liczbach zespolonych do rozwiązania wykorzystuje się tylko \(\displaystyle{ i^2=-1}\), więc niełatwo mi było sobie wyobrazić prostsze rozwiązanie tego konkretnego równania. Przy wyższych potęgach zgoda - de Moivre może działać lepiej.

chan_rozwielikaty · Post autor: **chan_rozwielikaty** » 16 mar 2011, o 09:27

Skąd tam się wzięło to:
\(\displaystyle{ \left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}}\).
???

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 16 mar 2011, o 09:38

chan_rozwielikaty pisze:Skąd tam się wzięło to:
\(\displaystyle{ \left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}}\).
???

@norwimaj - autorka wątku nie podziela mojego zdania nt. prostoty.

@chan_rozwielikaty - trzeba jakoś zwinąć \(\displaystyle{ x^2-xy+y^2}\), żeby otrzymać różnicę kwadratów.

chan_rozwielikaty · Post autor: **chan_rozwielikaty** » 16 mar 2011, o 09:54

nie da się tego prościej zapisać? ja też sobie wykorzystałam wzór, ale na różnicę sześcianów:
\(\displaystyle{ z^{3} -(3i) ^{3} =(z-3i)(z ^{2} +3iz+9i ^{2}) =0}\)

czy jest to poprawny zapis"?

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 16 mar 2011, o 10:22

Wzór na różnicę sześcianów. Jest OK. To jest \(\displaystyle{ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)}\) po podstawieniu \(\displaystyle{ x=z,\ y=-3i}\), tylko po lewej stronie wyłączyłaś przed nawias \(\displaystyle{ (-1)^3=-1}\).

chan_rozwielikaty · Post autor: **chan_rozwielikaty** » 16 mar 2011, o 10:29

bosa_Nike pisze:Wzór na różnicę sześcianów. Jest OK. To jest \(\displaystyle{ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)}\)

Ten wzór który podajesz, jest na sumę sześcianów, więc po co miałabym wyłączyć minus?

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 16 mar 2011, o 10:48

Bo wzory na różnicę i sumę nieparzystych potęg to technicznie ten sam wzór. Dobra, nie było kwestii.

chan_rozwielikaty · Post autor: **chan_rozwielikaty** » 16 mar 2011, o 10:57

nie chciałam Cię urazić, tylko po rpstu nie wiem, po co miałabym to robic, myślałam, że mam coś źle

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 16 mar 2011, o 11:06

chan_rozwielikaty pisze:nie chciałam Cię urazić

Nie ma problemu, do tego potrzeba sporo więcej.

chan_rozwielikaty pisze:\(\displaystyle{ z^{3} -(3i) ^{3} =(z-3i)(z ^{2} +3iz+9i ^{2}) =0}\)

Jest dobrze. Teraz rozłóż wyrażenie w drugim nawiasie na różnicę kwadratów albo rozwiązuj tradycyjnie - wyróżnik, pierwiastki itd.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 16 mar 2011, o 13:58

bosa_Nike pisze: @norwimaj - autorka wątku nie podziela mojego zdania nt. prostoty.

Sam się trochę przeraziłem, że takie rozwlekłe to wyszło, ale jak się już dobrze opanuje postać trygonometryczną, to można sobie wyobrazić rysunek i wszystko widać natychmiast.

morfeusz747 pisze:Witam,

Możecie mi pomóc jak rozwiązać coś takiego:

z^2 + (2 + 2i)z + 1 + 2i = 0

To jest równanie kwadratowe, więc można zwyczajnie policzyć z delty.

[Info] Cytowany powyżej post został wydzielony do tematu 244769.htm
Dasio11