Kąt pomiędzy dwoma wektorami

[petro]

Treść zadania:

Używając liczb zespolonych proszę obliczyć kąt między wektorami o składowych
(1, 1) i (3, 5).

Moje rozwiązanie jest następujące:
Na początku stworzyłem sobie z danych 2 liczby zespolone.
\(\displaystyle{ z_1=1+i}\)
\(\displaystyle{ z_2=3+5i}\)

A następnie starałem się wyznaczyć kąt nachylenia do osi Re dla obu z nich i od kąta większego odjąć mniejszy, co da mi w rezultacie kąt pomiędzy tymi dwoma wektorami.

\(\displaystyle{ |z_1| = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \varphi = \frac{ \sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos \varphi = \frac{ \sqrt{2}}{2}}\)
Wynika z tego, że dla pierwszego wektora \(\displaystyle{ \varphi = 45^o}\)

\(\displaystyle{ |z_2|=c\sqrt{34}}\)
\(\displaystyle{ sin \varphi = \frac{ 5 \sqrt{34}}{34}}\)
\(\displaystyle{ cos \varphi = \frac{ 3 \sqrt{34}}{34}}\)
Wynika z tego, że dla drugiego wektora \(\displaystyle{ \varphi \approx 59^o}\)

Kąt pomiędzy dwoma wektorami: \(\displaystyle{ 59^o-45^o \approx 14^o}\)

Czy takie rozwiązanie jest poprawne?

[Crizz]

Hmmm... a nie prościej skorzystać z tego, że jeśli:

\(\displaystyle{ z_1=|z_1|(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)\\
z_2=|z_2|(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)}\)

to \(\displaystyle{ \frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}\left(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)}\)?

Wystarczy zatem podzielić te dwie liczby przez siebie i znaleźć argument wyniku (\(\displaystyle{ \frac{1+i}{3+5i}=...?}\)).

W Twoim rozwiązaniu korzystasz z liczb zespolonych tylko do przedstawienia tych wektorów, ale nie używasz w zasadzie żadnej szczególnej własności liczb zespolonych.