Obliczyć wartość wyrażenia

petro · Post autor: **petro** » 13 mar 2011, o 15:34

Treść zadania:

Korzystając z formuły Eulera \(\displaystyle{ e^{ix}=cosx + isinx}\) oraz elementarnych własności funkcji trygonometrycznych proszę wyliczyć ile wynoszą wyrażenia:

a)\(\displaystyle{ \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\)

b)\(\displaystyle{ \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\)

Korzystając z wyniku, proszę udowodnić jedynkę trygonometryczną, to jest pokazać, że \(\displaystyle{ sin^2x + cos^2x = 1}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 mar 2011, o 15:35

No to od razu wstawiaj ten wzor Eulera. Problem to?

petro · Post autor: **petro** » 13 mar 2011, o 15:54

Ok, więc spróbujmy:

\(\displaystyle{ \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} = \frac{(cosx+isinx)+(cos(-x)+isin(-x))}{2} = \frac{(cosx+isinx)+(cosx-isinx)}{2}=\frac{2cosx}{2} = cosx}\)

\(\displaystyle{ \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} = \frac{(cosx+isinx)-(cos(-x)+isin(-x))}{2i} = \frac{(cosx+isinx)-(cosx-isinx)}{2i}=\frac{2isinx}{2i} = sinx}\)

Dowód udało mi się znaleźć , ale nie bardzo rozumiem jak działa podnoszenie do kwadratu takich wyrażeń i np. dlaczego w przedostatnim kroku zniknęły wszystkie 'e'.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 mar 2011, o 15:57

a gdzie tutaj podnosisz do kwadratu?

petro · Post autor: **petro** » 13 mar 2011, o 16:08

Chodzi mi o dowód jedynki trygonometrycznej, który podlinkowałem do Wikipedii.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 mar 2011, o 16:09

Ok. Podnoszenie do kwadratu jest na tej samej zasadzie jak w liczbach rzeczywistych

kristoffwp · Post autor: **kristoffwp** » 13 mar 2011, o 16:14

Wzory skróconego mnożenia powinny się okazać pomocne.