Proszę przedstawić w postaci \(\displaystyle{ |z|e^{i\varphi}}\) następujące liczby zespolone:
\(\displaystyle{ \frac{2+3i}{1-i}}\)
Więc tak, na początek przekształciłem zadaną liczbę zespoloną: \(\displaystyle{ \frac{2+3i}{1-i} = \frac{(2+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2+2i+3i+3i^2}{2} = \frac {-1+5i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i}\)
Dziwne rzeczy zaczynają mi gdy chcę wyznaczyć argument: \(\displaystyle{ sin \varphi = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{ \sqrt{26}}{2}} = \frac{5\sqrt{26}}{26}}\)
\(\displaystyle{ cos \varphi = \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{ \sqrt{26}}{2}} = - \frac{\sqrt{26}}{26}}\)
Nie mam pojęcia jak z tego wyznaczyć argument (kąt)
Prosiłbym kogoś o jakieś wskazówki.
Kąt leży oczywiście w drugiej ćwiartce. Korzystamy ze wzoru redukcyjnego: \(\displaystyle{ \tg(\pi-\alpha)=-\tg\alpha}\)
Tu mamy \(\displaystyle{ \tg\varphi=-5}\), czyli \(\displaystyle{ \varphi=\pi-arctan5}\). Przybliżoną wartość można policzyć na kalkulatorze/odczytać z tablic.
Więc nie mam zielonego pojęcia skąd wziął się tutaj ten tg -- 14 marca 2011, 17:53 --Mógłbym prosić kogoś o doprowadzenie tego zadania do końca od momentu, w którym skończyłem? Totalnie nie wiem skąd wziął się tutaj tg i jak wyznaczyć ten kąt
No przecież \(\displaystyle{ \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\). Tak jest najwygodniej, bo nie musisz np. wyznaczać kąta z sinusa i zastanawiać się, czy aby na pewno cosinus będzie pasował.
