Postać wykładnicza liczby zespolonej.

[Marcinek665]

Ciężko było mi wybrać dział, w którym powinienem zamieścić ten problem, jednak uznałem, że funkcje trygonometryczne są najlepszym wyborem.

Moje pytanie jest następujące.

Skąd bierze się postać wykładnicza liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ z=|z|e^{\varphi i}}\)?

Wiem, że ze wzoru Eulera mamy: \(\displaystyle{ e^{xi} = \cos x + i\sin x}\) i korzystając z tego dochodzimy do zwykłej postaci trygonometrycznej, ale tutaj z kolei nie wiem, dlaczego jest akurat tak: \(\displaystyle{ e^{xi} = \cos x + i\sin x}\)

Skąd wzięła się w tym wzorze liczba e oraz dlaczego wartość liczby \(\displaystyle{ e^{xi}}\) jest równa \(\displaystyle{ \cos x + i\sin x}\) ?

Prosiłbym o wyprowadzenie tego faktu, a nie powiedzenie 'tak jest, bo tak działa'.

Z góry dzięki.

[norwimaj]

Dla liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) mamy równość:
\(\displaystyle{ e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}}\).
Ktoś kiedyś stwierdził, że można ten wzór rozszerzyć na liczby zespolone, i przyjąć definicję
\(\displaystyle{ e^z=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n}\).
Okazuje się, że przyjmując to za definicję, można wyprowadzić wzór Eulera, o który pytasz.
Żeby go wyprowadzić, można napisać \(\displaystyle{ z=a+bi}\), a następnie zapisać wyrażenie
\(\displaystyle{ 1+\frac{z}{n}}\) w postaci trygonometrycznej. Potem to podnosimy do potęgi, stosując wzór de Moivre'a. I przechodzimy do granicy z \(\displaystyle{ n}\)-em. Mi się to wyprowadzenie nawet podoba, ale nie zamierzam go tu pisać, bo szkoda mi czasu.

Jest też możliwe inne podejście, takie że wzór Eulera uznajemy za definicję potęgowania \(\displaystyle{ e^z}\). Mi jednak się bardziej podoba to pierwsze.