Oblicz liczbę zespoloną.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
ogien123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 20 sty 2011, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszwa

Oblicz liczbę zespoloną.

Post autor: ogien123 »

Witam , mam problem z obliczeniem takiego przykładu . Proszę o pomoc

\(\displaystyle{ \frac{\left( 1 + i \sqrt{3} \right)^{13} }{\left( \sqrt{3} - i \right)^{11} }}\)

i np. jak się postępuje gdy w innym przykładzie mamy przykładowo w liczniku potęgę 20 a w mianowniku 25. Z góry dzięki
Prosiłbym o naprowadzenie gdyż ja bym to zrobil pierw wyliczyć licznik potem mianowik i podzielic ?
Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Oblicz liczbę zespoloną.

Post autor: Afish »

Wzór de Moivre'a znasz? Próbowałeś zastosować?
ogien123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 20 sty 2011, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszwa

Oblicz liczbę zespoloną.

Post autor: ogien123 »

Afish pisze:Wzór de Moivre'a znasz? Próbowałeś zastosować?
Znam , jednak nie potrafię doprowadzić do postaci trygonometrycznej . Nie wiem co z tymi potęgami ...
Awatar użytkownika
rtuszyns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2042
Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 229 razy

Oblicz liczbę zespoloną.

Post autor: rtuszyns »

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ 1 + i \sqrt{3}=z_1\\
\sqrt{3}-i=z_2}\)


Mamy więc:

\(\displaystyle{ \frac{z_1^{13}}{z_2^{11}}=\frac{z_1^{13}}{z_2^{13-2}}=\frac{z_1^{13}z_2^2}{z_2^{13}}=\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^{13}z_2^2}\)

Teraz jedynie należy wydzielić liczby zespolone, podnieść do potęgi \(\displaystyle{ 13}\) (wzór de Moivre'a) i wymnożyć kwadratem drugiej liczby zespolonej (\(\displaystyle{ z_2^2=z_2z_2}\)).
ogien123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 20 sty 2011, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszwa

Oblicz liczbę zespoloną.

Post autor: ogien123 »

Dzięki za wyjaśnienie , natomiast żaden wynik mi nie wychodzi ...
Bardzo proszę o rozwiązanie poglądowe któregoś z przykładów :

a \(\displaystyle{ \frac{\left( 3 + i \right)^{2} }{\left( 2 + i \right)^{3} }}\)


b \(\displaystyle{ \frac{\left( 3 + 2i \right)^{2} }{\left 3 + 4i \right }}\)

Z góry dziękuje gdyż bardzo jest mi to potrzebne ...
miodzio1988

Oblicz liczbę zespoloną.

Post autor: miodzio1988 »

Analogicznie to robisz. Problem to?
ogien123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 20 sty 2011, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszwa

Oblicz liczbę zespoloną.

Post autor: ogien123 »

miodzio1988 pisze:Analogicznie to robisz. Problem to?
Np. w przykładzie "b" rozwijam mianownik o potęgę "2-1" ?? i potem wynik mnożę jeszcze przez mianownik ??
Bardzo bym prosił o rozwiązanie , cała sprawa się mi rozjaśni.
miodzio1988

Oblicz liczbę zespoloną.

Post autor: miodzio1988 »

rozwiazania nie bedzie. Zacznij Ty liczyć a ja co najwyżej sprawdzę. Gotowca nie dostaniesz
ogien123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 20 sty 2011, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszwa

Oblicz liczbę zespoloną.

Post autor: ogien123 »

Przykład "b"
\(\displaystyle{ \frac{\left( 3 + 2i \right)^{2} }{\left 3 + 4i \right }=
\frac{\left( 3 + 2i \right)^{2} }{\left (3 + 4i )^{2-1}\right }=
\frac{\left( 3 + 2i \right)^{2} }{\left (3 + 4i )^{2}\right }
{\left( 3 + 4i \right)}}\)


I teraz obliczam pierw wzorem de Moivre'a i następnie wynik mnożę przez \(\displaystyle{ {\left( 3 + 4i \right)}}\) ?? Dobrze ?
miodzio1988

Oblicz liczbę zespoloną.

Post autor: miodzio1988 »

Spoko. Może być
ogien123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 20 sty 2011, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszwa

Oblicz liczbę zespoloną.

Post autor: ogien123 »

\(\displaystyle{ \frac{\left (3 + 2i \right) }{\left (3 + 4i \right) }
\frac{\left (3 - 4i \right) }{\left (3 - 4i \right) }=
\frac{\left 9-12i +6i - 8i^2}{\left 9-16i^2\right }=
(\frac{\left 17 - 6i}{\left 25\right })^2 {\left (3 +4i\right) }}\)


Dobrze ?
miodzio1988

Oblicz liczbę zespoloną.

Post autor: miodzio1988 »

wymnóz teraz i bedzie ok
ogien123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 20 sty 2011, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszwa

Oblicz liczbę zespoloną.

Post autor: ogien123 »

\(\displaystyle{ (\frac{\left 289}{\left 625\right }-\frac{\left 36i^2\right}{\left 625\right }) }
({\left 3+4i \right })}\)


i wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{\left 39}{\left 25\right }+\frac{\left 52i}{\left 25\right }}\)

czyli źle bo wynik ma być \(\displaystyle{ \frac{\left 63}{\left 25\right }+\frac{\left 16i}{\left 25\right }}\)

Gdzie robię błąd ?
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Oblicz liczbę zespoloną.

Post autor: Crizz »

Musisz robić jakiś błąd w podnoszeniu do kwadratu. Pokaż obliczenia lub sprawdź je dokładnie jeszcze raz.
ODPOWIEDZ