pytanie: liczbamy zespolonyme

[jaqin]

Witam, dopiero zaczynam swoją przygodę z liczbami zespolonymi i mam parę pytań.

pierwsze problem mam z: Oblicz:

\(\displaystyle{ i^{-7}}\)

wiem jak się liczy i do 5; do 20 itd. a jak to jest w drugą stronę ?

pisząc to wydedukowałem że to może być: \(\displaystyle{ -\frac{1}{i}}\)

drugi problem: Znajdz takie lczby rzeczywiste a,b żeby zachodziła równość:

\(\displaystyle{ a\left( - \sqrt{2} +i\right) +b\left( 3 \sqrt{2} +5i\right) = 8i}\)

wymnażałem, przekształcałem ale nadal nie mam pomysłu jak to rozwiązać.

[miodzio1988]

Zad 1

Ok . Tylko jeszcze pomnoz to przez sprzezenie

Zad 2

Porównaj czeci rzeczywiste i urojone

[jaqin]

zad.1 dlaczego trzeba mnożyć przez sprzężenie ?

zad.2 no wiem ze trzeba porównać ale nie wiem jak...

rzeczywiste = 0 a urojone = 8 tak ? czy mam to powymnażać jakoś i poprzenosić ?

[miodzio1988]

zad 1

Zeby wynik byl ładniejszy

Zad 2

rzeczywiste = 0 a urojone = 8 tak ?

Po wymnożeniu tak

[rtuszyns]

zad.2 no wiem ze trzeba porównać ale nie wiem jak...

rzeczywiste = 0 a urojone = 8 tak ? czy mam to powymnażać jakoś i poprzenosić ?

Mamy tutaj postać:

\(\displaystyle{ a\left(\Re z_1+i\Im z_1\right)+b\left(\Re z_2+i\Im z_2\right)=\Re z_3+i\Im z_3}\)

Wymnażamy nawiasy przez niewiadome współczynniki \(\displaystyle{ a,b}\) i grupujemy teraz wyrazy podobne. Otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \left(a\Re z_1+b\Re z_2\right)+i\left(a\Im z_1+b\Im z_2\right)=\Re z_3+i\Im z_3}\)

Teraz porównujemy to, co stoi przy jednostce urojonej \(\displaystyle{ i}\) po prawej i lewej stronie (części urojone) i to co zostało nie stoi przy \(\displaystyle{ i}\) (części rzeczywiste).

Dostajemy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a\Re z_1+b\Re z_2=\Re z_3 \\ a\Im z_1+b\Im z_2= \Im z_3\end{cases}}\)

Rozwiązujemy ten układ równań ze względu na \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) i otrzymujemy nasze rozwiązania.

Należy pamiętać, że \(\displaystyle{ \Re z, \Im z\in \mathbb{R}}\).