Niech \(\displaystyle{ f(z)}\) będzie funkcją holomorficzną na \(\displaystyle{ |z| < 1}\) oraz załóżmy ze
\(\displaystyle{ |f(z)| \leq \frac {1}{1 - |z|}}\) Pokaż że \(\displaystyle{ |f^{'}(0)|\leq 4}\)
pochodna funkcji
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
pochodna funkcji
Wystarczy zastosować nierówność Cauchyego dla odpowiedniego dysku o środku w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) i promieniu \(\displaystyle{ r<1}\). Jeśli bowiem \(\displaystyle{ |f|<M}\) na tym dysku, to
\(\displaystyle{ |f'(0)|\le\frac{M}{r}}\).
Powodem ograniczenia uwagi do dysku mniejszego od jednostkowego jest to, że warunek \(\displaystyle{ |f(z)|\le\frac{1}{1-|z|}}\) nie gwarantuje ograniczoności \(\displaystyle{ f}\) w dysku jednostkowym.
Do rzeczy:
w dysku o promieniu \(\displaystyle{ r}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-|z|}\le\frac{1}{1-r}=:M}\)
Skąd:
\(\displaystyle{ |f'(0)|\le\frac{1}{(1-r)r}}\).
Zauważamy, że do zamknięcia argumentu wystarczy położyć \(\displaystyle{ r=\frac 12}\), co jest zresztą optymalną wartościa - każde inne \(\displaystyle{ r}\) da niewystarczające ograniczenia.
\(\displaystyle{ |f'(0)|\le\frac{M}{r}}\).
Powodem ograniczenia uwagi do dysku mniejszego od jednostkowego jest to, że warunek \(\displaystyle{ |f(z)|\le\frac{1}{1-|z|}}\) nie gwarantuje ograniczoności \(\displaystyle{ f}\) w dysku jednostkowym.
Do rzeczy:
w dysku o promieniu \(\displaystyle{ r}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-|z|}\le\frac{1}{1-r}=:M}\)
Skąd:
\(\displaystyle{ |f'(0)|\le\frac{1}{(1-r)r}}\).
Zauważamy, że do zamknięcia argumentu wystarczy położyć \(\displaystyle{ r=\frac 12}\), co jest zresztą optymalną wartościa - każde inne \(\displaystyle{ r}\) da niewystarczające ograniczenia.