obliczyć potęgę

[askas]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1-i \sqrt{3} }{1+i} \right) ^{10}}\)

[Chromosom]

pomnoz licznik i mianownik przez sprzezenie mianownika najpierw

[askas]

tak zrobiłam i kiedy wyszło mi, że \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{- \sqrt{2}- \sqrt{6} }{4}}\) to zrezygnowałam. Wyjdzie mi coś z tego?

[Chromosom]

jesli masz watpliwosci co do poprawnosci mozesz zamiescic obliczenia. a jesli myslisz ze dobrze to wzor de moivre'a teraz zastosuj

[Dasio11]

Wynik wyszedł ci dobry. Jeśli nie wiesz, jak wyliczyć kąt, możesz skorzystać z następującej podpowiedzi:

podpowiedź:    

Spróbuj znaleźć takie \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta,}\) że

\(\displaystyle{ \sin \alpha \cos \beta = \frac{\sqrt{2}}{4} \\ \\
\cos \alpha \sin \beta = \frac{\sqrt{6}}{4}.}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ \sin \big( - \alpha - \beta \big) = - \sin \big(\alpha + \beta) = - \big( \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \big) = - \left( \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} \right) = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4},}\)

czyli szukanym kątem będzie \(\displaystyle{ -\alpha -\beta.}\)

[Lbubsazob]

W tablicach matematycznych jest, że \(\displaystyle{ \sin 75^\circ}\) to \(\displaystyle{ \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}}\), no to tu jest \(\displaystyle{ - \frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}}\), a \(\displaystyle{ \sin(-x)=-\sin x}\).