wykazanie równości

[darek20]

Pokaż ze \(\displaystyle{ arg\displaystyle\frac{z_3-z_2}{z_3-z_1}=\frac{1}{2}arg\frac{z_2}{z_1}}\) jeśli \(\displaystyle{ \vert z_1\vert=\vert z_2\vert=\vert z_3\vert.}\)

[Qń]

Wskazówka - jeśli \(\displaystyle{ |u|=|w|\neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ u+w\neq 0}\), to rozważmy czworokąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ 0,-w,u-w,u}\). Nietrudno zauważyć, że jest to romb, zatem jego przekątna \(\displaystyle{ [0,u-w]}\) jest dwusieczną kąta przy punkcie \(\displaystyle{ 0}\). Tak więc:
\(\displaystyle{ arg (u-w) = \frac{arg u + arg (-w)}{2}}\)

Z uwagi zaś na równość \(\displaystyle{ arg (-w) = \pi + arg w}\) dostajemy ostatecznie wzór:
\(\displaystyle{ arg (u-w) = \frac{arg u + arg w + \pi}{2}}\)
z którego już łatwo wynika żądana zależność.

Q.