Wielomian rzeczywisty przedst.w post.nierozkł.czynników

[Cybran]

Witam serdecznie!
Nie mogę sobie dać rady ze zrozumieniem przykładu z Algebry Liniowej. Jest tak:
\(\displaystyle{ x^{4} +81=0 \setminus -81}\)
\(\displaystyle{ x^{4}=-81 \setminus \sqrt[4]{}}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt[4]{-81}}\)

w tym momencie Panowie Krysicki i Włodarski zauważają, że jest to tożsame ze ze zbiorem pierwiastków liczby zespolonej. Próbowałem to zrobić, tj. policzyć zbiór 4 pierwiastków w-w liczby, korzystając z postaci trygonometrycznej, ale mi nie wychodzi. czy ktoś mółby mi to wytłumaczyć?

Ja zrobiłem tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-81} czyli \left| z\right| = \sqrt{81 ^{2} } = 81}\)

Umieszczając w układzie współrzędnych wiemy, że kątem gamma będzie 180 stopni, czyli

\(\displaystyle{ z_{0} = \sqrt[4]{81}(cos \pi +isin \pi )=3(-1 +0i)=-3}\)
\(\displaystyle{ z_{1}= \sqrt[4]{81}(cos \frac{2 \pi }{4}+isin \frac{2 \pi }{4} )}\)

i tak dalej i tak dalej, tym sposobem obliczyłem wszystkie pierwiastki. Sprawdziłem po 10 razy i nigdzie się nie pomyliłem z kątami, itp.

A tymczasem w odpowiedziach jest napisane, że

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-81}= \left( \frac{3 \sqrt{2} }{2}(1+i), \frac{3 \sqrt{2} }{2}(1-i),-\frac{3 \sqrt{2} }{2}(1+i),\frac{3 \sqrt{2} }{2}(1+i) \right)}\)


Wyjaśni mi ktoś o co w tym chodzi, tak krok po kroku? Jak im to wyszło, jakim cudem? A przy okazji miałbym pytanie, czy ktoś mógłby mi wskazać jakiś algorytm, jak rozwiązywać tego typu zadania? Z góry dzięki!!!

[Dasio11]

Algorytm jest dokładnie taki, jak ty robisz. Wystarczy nie popełniać błędów.

\(\displaystyle{ z_0 = \sqrt[4]{81} \big( \cos \frac{\pi}{4} + \mbox{i} \sin \frac{\pi}{4} \big) = 3 \big( \cos \frac{\pi}{4} + \mbox{i} \sin \frac{\pi}{4} \big) \\ \\
z_1 = 3 \big( \cos \frac{3\pi}{4} + \mbox{i} \sin \frac{3\pi}{4} \big) \\ \\
\vdots}\)

[Cybran]

Och, kurcze, na śmierć zapomniałem, że przecież w liczeniu \(\displaystyle{ z_{0}}\) też musimy podzielić kąt przez liczbę "n".....

Oczywiście, masz rację, mógłbym nad tym 2 lata siedzieć i bym nie zauważył.... Thx