Rozkład wielomianu zespolonego w postaci iloczynu dwumianów

[Draken]

Witam serdecznie!
Chyba dobry dział, bo uczę się z algebry liniowej, dział wielomiany, ale działania na wielomianach zespolonych

Mam problem i prośbę, czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć zadanie krok po kroku. Znam twierdzenia i wzory, ale u Krysickiego i Włodarskiego w którymś momencie przestali tłumaczyć i zrobili "na szybko", a ja się pogubiłem.

Chodzi mi o takie przykłady:

1) Rozłożyć wielomian
\(\displaystyle{ z ^{3}-3z ^{2} +3z -1+8i}\)

to się równa = \(\displaystyle{ (z-1) ^{3} +8i}\)

I tutaj jest coś, czego nie rozumiem, bo jest napisane: "zbiór ten pokrywa się ze zbiorem \(\displaystyle{ 1+ \sqrt[3]{-8i}}\) Korzystając ze wzoru na pierwiastki liczb zespolonych obliczamy..."

Od tego miejsca to już sobie zrobię, ale o co chodzi z tym przejściem z \(\displaystyle{ (z-1) ^{3} +8i}\) na \(\displaystyle{ 1+ \sqrt[3]{-8i}}\) ????

2) Tak samo jak poprzednio:
\(\displaystyle{ x ^{4} +81}\)

Korzystając z tej samej zasady - zbiór pokrywa się ze wzorem

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-81}}\)

Skąd to się bierze?


z góry stokrotne dzięki, siedzę nad tym od rana i mózg już paruje

[Crizz]

\(\displaystyle{ x^4+81=0\\
x^4=-81\\
x=\sqrt[4]{-81}}\)

\(\displaystyle{ (z-1)^3+8i=0\\
(z-1)^3=-8i\\
z-1=\sqrt[3]{-8i}\\
z=1+\sqrt[3]{-8i}}\)

O to chodzi? To są oczywiście zapisy robocze, bo \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8i}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-81}}\) to nie są pojedyncze liczby, tylko zbiory liczb.

[Draken]

Ja nie mogę!!!
No jasne, że tak. A ja kombinowałem, skąd to się wzięło, jakieś dowody, zmiany, przejścia, wyprowadzenia.....

A tu wystarczyło tak po prostu.... Co za wtopa. No dzięki za pokazanie. Ja zawsze mam takie szczęscie - na kolokwiach/egzaminach najtrudniejsze zadania z gwiazdką zrobię, a czasem najprostszych rzeczy nie zauważę.