Pierwiastki ^6 i równania

[tymczasowy1]

1. Oblicz :
\(\displaystyle{ x^{2}+(1+6j)x+5+15j=0}\)
2. Wyznacz pierwiastki:
\(\displaystyle{ (2+j)^{6}}\)
3. Oblicz pierwiastki równania, jeżeli:
\(\displaystyle{ x_{1}=3+2j}\)

[Afish]

1. Zwykłe równanie kwadratowe - delta i te sprawy.
2. Wzór de Moivre'a
3. Chyba troszkę za mało treści.

[grower]

Widzę, że piszemy w sobotę o 12.30 ten sam egzamin... Pozdrawiam

W pierwszym najpierw liczysz deltę, potem korzystasz ze wzoru na pierwiastek z delty:
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \pm \left( \sqrt{\frac{\left| z\right|+a }{2}}+j \cdot \text{sign} \left( b \right) \sqrt{\frac{\left| z\right| -a}{2}} \right)}\)

gdzie sign(b) przyjmuje wartość 1 dla liczb dodatnich i -1 dla ujemnych
|z| to moduł z delty (która jest liczbą zespoloną)
delta=z=a+jb i właśnie stąd bierzesz a i b do powyższego wzoru

potem liczysz x1 i x2 ze wzoru
\(\displaystyle{ \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
dla x1 bierzesz pod uwagę deltę ze znakiem + a dla x2 -

[grimsailor]

A jak z zadaniem drugim?

Wyznacz pierwiastki \(\displaystyle{ (2+j)^{6}}\)

Należy wyznaczyć wszystkie?

Ile ich jest? 6?

Nie są to dwa pierwiastki 3-krotne?

[grower]

Proszę o sprawdzenie czy dobrze to robię, zakładając, że chodzi o pierwiastki stopnia 3.
\(\displaystyle{ z=(2+j) ^{6}}\)

\(\displaystyle{ w^{3}=z}\)

\(\displaystyle{ w=(2+j)^{2}=4+4j+j^{2}=3+4j}\)

\(\displaystyle{ \varepsilon_0=\cos({\frac{2 \cdot 0\cdot\pi}{3})+j\cdot\sin({\frac{2\cdot0\cdot\pi}{3}}})=1+0j=1}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon_1=\cos({\frac{2 \cdot 1\cdot\pi}{3})+j\cdot\sin({\frac{2\cdot1\cdot\pi}{3}}})=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot j}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon_2=\cos({\frac{2 \cdot 2\cdot\pi}{3})+j\cdot\sin({\frac{2\cdot2\cdot\pi}{3}}})=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot j}\)

\(\displaystyle{ w_1=\varepsilon_0\cdot w=3+4j}\)
\(\displaystyle{ w_2=\varepsilon_1\cdot w=\frac{3-3\sqrt{3}}{2}+\frac{4-4\sqrt{3}}{2}\cdot j}\)
\(\displaystyle{ w_3=\varepsilon_2\cdot w=\frac{-3-3\sqrt{3}}{2}-\frac{4-4\sqrt{3}}{2}\cdot j}\)

Bardzo proszę napisać czy dobrze to jest

[grimsailor]

Ile Ci wyszła \(\displaystyle{ \alpha}\) ?

[grower]

Jaka \(\displaystyle{ \alpha}\)? To nie można wszędzie korzystać z tego:
https://www.matematyka.pl/241488.htm
???

[grimsailor]

Ja robiłem trochę inaczej, ale chyba źle.(?)

Napierw podniosłem tą liczbę zespoloną do potęgi i wyszło mi:

\(\displaystyle{ z=-117 +44i}\)

\(\displaystyle{ |z| = 125}\)

I próbowałem uzyskać z tego \(\displaystyle{ \alpha}\), ale nic z tego nie wyszło:

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{a}{|z|}}\), a więc:


\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{-117}{125}}\).

I nie wiem co dalej?

[grower]

Fajnie jakby jakiś pro się odezwał w tym temacie, żeby się nie okazało jutro na egzaminie, że robię źle :p

[Crizz]

Bardzo proszę napisać czy dobrze to jest

Metoda jest OK, tylko źle wyznaczyłeś wartości funkcji trygonometrycznych. W temacie, do którego linka podałeś, też liczyłeś pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki, zobacz, jak to tam wyglądało.

[grimsailor]

Proszę o sprawdzenie:
Wyznaczyć pierwiastki trzeciego stopnia:
\(\displaystyle{ (2+i) ^{6}}\)


\(\displaystyle{ w ^{3} = (2+i) ^{6}}\)
\(\displaystyle{ w = (2+i) ^{2}}\)

Po podniesieniu do potęgi:

\(\displaystyle{ w = 3 + 4i}\), jest to jeden z trzech pierwiastków.

\(\displaystyle{ w_1 = w \cdot \varepsilon}\)
\(\displaystyle{ w_1 = (3 + 4i) \cdot (-\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}j) = \frac{-3- \sqrt{3} -4i }{2}}\)

\(\displaystyle{ w_2 = w \cdot \varepsilon ^{2}}\)
\(\displaystyle{ w_2 = (3 + 4i) \cdot (-\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}j) ^{2} = \frac{-3 + \sqrt{3} - 4i}{2}}\)

Kolejne pierwiastki liczy się tak:

\(\displaystyle{ w_n = w \cdot \varepsilon ^{n}}\), czy tak?

[Crizz]

Można i tak, tylko wtedy \(\displaystyle{ \varepsilon}\) musi być równe \(\displaystyle{ \varepsilon=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}}\), gdzie n to stopień liczonych pierwiastków. Z tym akurat jest tutaj OK, ale mnożenie jest źle wykonane (wynik się nie zgadza, sprawdź obliczenia).

Aha, no i korzystajac z tej metody nie warto raczej bawić się w podnoszenie \(\displaystyle{ \varepsilon}\) do drugiej, trzeciej potęgi itd. Wygodniej będzie zauważyć, że \(\displaystyle{ w_2=w_1 \cdot \varepsilon, w_3=w_2 \cdot \varepsilon, w_4=w_3 \cdot \varepsilon}\) itd. (oczywiście dla pierwiastków wyższych stopni, tu dochodzimy tylko do \(\displaystyle{ w_2}\)).