Pierwiastki z liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
grower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 28 paź 2010, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Internet
Podziękował: 1 raz

Pierwiastki z liczby zespolonej

Post autor: grower »

Wyznaczyć pierwiastki trzeciego stopnia z liczby \(\displaystyle{ \left( 1+3j\right) ^{3}}\)
Proszę o pomoc, nie mogę sobie z tym poradzić jakoś. Jednym pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ 1+3j}\) a jak wyznaczyć pozostałe dwa?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Pierwiastki z liczby zespolonej

Post autor: »

Niech \(\displaystyle{ \varepsilon_k}\) będzie jednym z pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki, tzn. taką liczbą, że \(\displaystyle{ \varepsilon_k^3=1}\) (jak wiadomo są trzy takie liczby). Zauważmy, że w takim razie rozwiązaniami naszego równania są trzy liczby:
\(\displaystyle{ (1+3i)\cdot\varepsilon_k}\)
ponieważ:
\(\displaystyle{ \left( (1+3i)\cdot\varepsilon_k\right)^3 =\left( 1+3i\right)^3 \cdot \left( \varepsilon_k\right)^3 =\left( 1+3i\right)^3}\)

Q.
grower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 28 paź 2010, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Internet
Podziękował: 1 raz

Pierwiastki z liczby zespolonej

Post autor: grower »

\(\displaystyle{ \varepsilon_0=1}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon_1=\cos \frac{2}{3}\pi+i\sin \frac{2}{3}\pi=-\frac{1}{2}+\frac{ \sqrt{3}}{2}i}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon_2=\cos \frac{4}{3}\pi+i\sin \frac{4}{3}\pi=-\frac{1}{2}-\frac{ \sqrt{3}}{2}i}\)
Dobrze te epsilony są?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Pierwiastki z liczby zespolonej

Post autor: Dasio11 »

Fantastycznie.
grower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 28 paź 2010, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Internet
Podziękował: 1 raz

Pierwiastki z liczby zespolonej

Post autor: grower »

Czyli wynikami będą:

\(\displaystyle{ 1+3i}\)

\(\displaystyle{ \frac{-3 \sqrt{3}-1 }{2}+\frac{\sqrt{3}-3}{2}i}\)

\(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{3}-1}{2}-\frac{\sqrt{3}-3}{2}i}\)

Zgadza się? Jeżeli tak to można to jakoś uprościć czy tak ma zostać?
ODPOWIEDZ