Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej

hanko · Post autor: **hanko** » 23 lut 2011, o 10:15

Witam. Nie wiem czy dobrze robię te zadanie, dlatego chciałem się poradzić kogoś z forum. Zadanie jest takie: zaznacz na płaszczyźnie kartezjańskiej:

a.)\(\displaystyle{ z ^{3} = -8}\)
b.)\(\displaystyle{ \frac{\left| z-1\right| }{\left| z+i\right| } = 1}\)

Moje rozwiązania:
a.)
\(\displaystyle{ z=-2}\)
\(\displaystyle{ z+2=0}\)
\(\displaystyle{ z-(-2)=0}\)
\(\displaystyle{ S _{okregu} = -2
\(\displaystyle{ r = 0}\)
Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczam punkt -2.

b.)
\(\displaystyle{ \left| z-1\right| = \left| z+i\right|}\)
Zaznaczam punkt z, potem z+1 i łączę je, a odcinek, który je łączy, ma wartość 1.}\)

sigmaIpi · Post autor: **sigmaIpi** » 23 lut 2011, o 10:21

Źle robisz. Wielomian 3 stopnia ma 3 pierwiastki w zbiorze liczb zespolonych.
a) \(\displaystyle{ z_1=-2, z_2=1-i \sqrt{3}, z_3=1+i \sqrt{3}}\)-- 23 lut 2011, o 10:29 --podpunkt b) to już jest wyższa fantazja Nie wiem skąd ten twój pomysł się wziął??

hanko · Post autor: **hanko** » 23 lut 2011, o 10:30

Czyli zaznaczam na płaszczyźnie kartezjańskiej punkt -2 i co dalej?

sigmaIpi · Post autor: **sigmaIpi** » 23 lut 2011, o 10:35

przedstaw liczbę z w postaci \(\displaystyle{ x+iy}\), podnieś lewą stronę do 3 potęgi, dostaniesz jakąś liczbę zespoloną, z niezerową częścią rzeczywistą i niezerową częścią urojoną.

Po prawej masz -8. To jest liczba zespolona o części rzeczywistej równej -8 i urojonej 0.

Dwie liczby zespolone są równe, gdy ich części rzeczywiste są równe i ich części urojone są równe.
Teraz kombinuj sam.

hanko · Post autor: **hanko** » 23 lut 2011, o 10:40

Okej podniosłem liczbę z do 3 potęgi i porównałem części rzeczywiste i urojone z lewej strony do prawej, co wygląda tak:
\(\displaystyle{ x ^{3} -3xy ^{2} +y ^{3} = -8}\)
\(\displaystyle{ 3x ^{2} iy = 0}\)

Wyszły mi takie równania lecz nie wiem co z nimi zrobić.

Co do punktu b to przeniosłem mianownik na prawo i dalej nie byłem pewien co z tym zrobić więc zrobiłem to co tam napisałem

sigmaIpi · Post autor: **sigmaIpi** » 23 lut 2011, o 10:49

Źle podniosłeś do potęgi.

hanko · Post autor: **hanko** » 23 lut 2011, o 11:02

\(\displaystyle{ (x+iy) ^{3} = x ^{3} + 3x ^{2}iy - 3xy ^{2} + y ^{3}}\)
W przedostatnim jest znak -, bo podnoszę i do potęgi 2, ale w ostatnim jest +, bo przecież \(\displaystyle{ i ^{3}}\) ma znak +.

sigmaIpi · Post autor: **sigmaIpi** » 23 lut 2011, o 11:06

ostatni składnik jest źle

\(\displaystyle{ (iy)^3=-iy^3}\)

\(\displaystyle{ i^3=i \cdot i \cdot i=-1 \cdot i=-i}\)

hanko · Post autor: **hanko** » 23 lut 2011, o 11:35

A no tak moja wina, okej to mam
\(\displaystyle{ x ^{3} -3xy^{2}+y^{3}=8}\)
\(\displaystyle{ 3x^{2}iy = 0}\)
Hmmm i co musze z tym zrobić?

sigmaIpi · Post autor: **sigmaIpi** » 23 lut 2011, o 11:40

drugie równanie bez \(\displaystyle{ i}\). \(\displaystyle{ z=x+iy}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y}\)są odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną.

Teraz trzeba to rozwiązać Masz dwie niewiadome, dwa równania, czyli masz układ równań.

hanko · Post autor: **hanko** » 23 lut 2011, o 11:50

A no tak. Ok dzięki za pomoc A mam jeszcze jedną prośbę możesz zacząć to rozwiązywać? Bo potem już będę wiedział jak to robić a nie chcę źle zacząć

sigmaIpi · Post autor: **sigmaIpi** » 23 lut 2011, o 11:52

Nie mogę. Mogę tylko Ci pomóc poprawić ewentualne błędy.

W pierwszym równaniu jest -8 a nie 8. Nie zauważyłam wcześniej.

hanko · Post autor: **hanko** » 23 lut 2011, o 12:01

Aha to szkoda. Ale ważne że wiem jak zrobić do tego miejsca a to już coś Jeszcze raz dzięki za pomoc