Równanie z liczbami zespolonymi

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
BloodMan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Równanie z liczbami zespolonymi

Post autor: BloodMan »

Zaczynam dopiero naukę o tychże liczbach i zupełnie nie mam pojęcia jak zabrać się za takie zadanie:


\(\displaystyle{ z ^{6} = (1+2i) ^{12}}\)



czy mógłby ktoś pomóc w rozwiązaniu tego zadania ??
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Równanie z liczbami zespolonymi

Post autor: »

Ponieważ równanie jest szóstego stopnia, to ma ono sześć rozwiązań. Nietrudno odgadnąć, że jednym z nich jest \(\displaystyle{ (1+2i)^2}\). Nietrudno zauważyć, że są nimi w takim razie liczby:
\(\displaystyle{ z_k=(1+2)^2 \cdot \varepsilon_k}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,4,5}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_k}\) to takie liczby, że \(\displaystyle{ \varepsilon_k^6=1}\) (czyli pierwiastki szóstego stopnia z jedynki - są na nie gotowe wzory). Liczb postaci \(\displaystyle{ z_k}\) jest sześć, zatem są to wszystkie rozwiązania.

Q.
BloodMan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Równanie z liczbami zespolonymi

Post autor: BloodMan »

Czyli mając takie zadanie mogę spierwiastkować obie strony czy jakoś inaczej zacząć liczyć ??
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Równanie z liczbami zespolonymi

Post autor: Dasio11 »

Pierwiastkując obie strony dostajesz jedno pewne rozwiązanie. Mnożąc je przez kolejne pierwiastki jedynki otrzymujesz następne rozwiązania, co jest uzasadnione następująco: jeśli \(\displaystyle{ z^6 = (1+2i) ^{12},}\) to

\(\displaystyle{ \left( z \varepsilon_k \right)^6 = z^6 \varepsilon_k^6 = z^6 \cdot 1 = (1+2i) ^{12}.}\)

To spostrzeżenie pozwala wyznaczyć wszystkie sześć pierwiastków. :)
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Równanie z liczbami zespolonymi

Post autor: »

Dasio11 pisze:Pierwiastkując obie strony dostajesz jedno pewne rozwiązanie.
Ściśle rzecz biorąc pierwiastkiem z każdej ze stron jest zbiór sześcioelementowy, więc dostaniemy albo od razu sześć rozwiązań, albo żadnego (zależy jak patrzeć). Jeśli już to powinniśmy napisać "pierwiastkując", a chodzi po prostu o odgadnięcie jednego z rozwiązań.

Q.
ODPOWIEDZ