równanie na zespolonych

[soriofcb]

\(\displaystyle{ z ^{3} -8i = 0}\)
\(\displaystyle{ z ^{3} =8i}\)
moduł = 2
więc \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{3}}\)
\(\displaystyle{ z _{0} = 2\left( \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) = 1 + \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ z _{1}= 2\left( -1+0\right) =2}\)
\(\displaystyle{ z _{2}= 2\left(\frac{-1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)= -1 + \sqrt{3}}\)

??? dobrze kąt znajduje ? czy to bedzie kąt \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) ?

[Crizz]

Po pierwsze, pozjadałeś prawie wszędzie \(\displaystyle{ i}\).

Po drugie \(\displaystyle{ 2}\) to miał być moduł pierwiastków czy wyjściowej liczby? Moduł wyjściowej liczby to \(\displaystyle{ 8}\) i wtedy:
\(\displaystyle{ 8i=8(0+1 \cdot i)}\), więc kątem rzeczywiście będzie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\).
Teraz dopiero jak znasz \(\displaystyle{ |z|=8,\alpha=\frac{\pi}{2}}\), to podstawiasz do wzoru na pierwiastki n-tego stopnia (tu \(\displaystyle{ n=3}\)):
\(\displaystyle{ w_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos \frac{\alpha+2k\pi}{n}+i\sin \frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)}\)

[soriofcb]

Ok czyli tutaj kąt będzie \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) więc dopiero to jego cosinusa i sinusa dodaje \(\displaystyle{ \frac{2k \cdot \pi }{n} ?}\)

[Crizz]

Nie do niego. Spójrz na wzór: masz sinus i cosinus kąta \(\displaystyle{ \frac{\alpha+2k\pi}{n}}\), przy czym \(\displaystyle{ \alpha}\) to u Ciebie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\). Do kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) dodajesz \(\displaystyle{ 2k\pi}\) i dopiero wtedy dzielisz przez \(\displaystyle{ n}\).

(za \(\displaystyle{ k}\), ponieważ liczymy pierwiastki trzeciego stopnia, podstawiasz kolejno \(\displaystyle{ 0,1,2}\))