Podaną liczbę zespoloną zapisać w postaci trygonometrycznej

[Webster]

Nie wiem czy dobrze je robię:
\(\displaystyle{ z=- \sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ a=5 \ b=0}\)
więć:
\(\displaystyle{ \nbox z=\sqrt{5^2}=5 \\ cos \alpha = 1 \ \ sin \alpha=0 \ \ \rightarrow \ \ \alpha=0}\)

z de Moivre'a mi wychodzi tak:
\(\displaystyle{ z=\sqrt{5}(cos \frac{\alpha+2k\pi}{n}+isin \frac{\alpha+2k\pi}{n}}\)
więc:
\(\displaystyle{ z=\sqrt{5}(cos\pi+isin\pi)}\)

Dobrze to jest rozwiązane?

[miki999]

\(\displaystyle{ - \sqrt{5}}\) jest liczbą rzeczywistą. Zatem przedstawianie jej w postaci tryg. jest głupotą.


Pozdrawiam.

[miodzio1988]

jest ok. miki999, skoro takie jest polecenie...-- 20 lutego 2011, 20:25 --

\(\displaystyle{ a=5 \ b=0}\)

to jest jednak zle

[Webster]

czyli to ma być:

\(\displaystyle{ a=-\sqrt{5} \ \ b=0 \\ |z|=\sqrt{5}}\) ?

[Crizz]

Webster, strasznie tu coś namieszałeś.

z de Moivre'a mi wychodzi tak:
\(\displaystyle{ z=\sqrt{5}(cos \frac{\alpha+2k\pi}{n}+isin \frac{\alpha+2k\pi}{n}}\)

To nie jest wzór de Moivre'a. Wzór de Moivre'a jest poza tym niepotrzebny w tym zadaniu.

\(\displaystyle{ z=\sqrt{5^2}=5}\)

To się zdecyduj, albo \(\displaystyle{ z=\sqrt{5}}\), albo \(\displaystyle{ z=5}\).

Moduł teraz już jest OK. Jeśli oznaczasz \(\displaystyle{ z=a+bi}\), to \(\displaystyle{ a,b}\) też.

Czegoś tu nie rozumiem. Najpierw piszesz, że \(\displaystyle{ \alpha=0}\), a potem, że \(\displaystyle{ z=\sqrt{5}(cos\pi+isin\pi)}\)?

Ten ostatni zapis jest poprawny, bo przecież \(\displaystyle{ -\sqrt{5}=\sqrt{5}(-1+0 \cdot i)}\), zatem nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ cos \alpha = 1 \ \ sin \alpha=0}\). Poprawnie powinno być \(\displaystyle{ cos \alpha = -1 \ \ sin \alpha=0}\) i wtedy rzeczywiście \(\displaystyle{ \alpha}\) wychodzi \(\displaystyle{ \pi}\).

Ostatecznie, \(\displaystyle{ z=\sqrt{5}(cos\pi+isin\pi)}\) jest poprawną odpowiedzią.

[Webster]

chodzi o to, że jeśli liczba zespolona podana w zadaniu \(\displaystyle{ -\sqrt{5}}\), to \(\displaystyle{ a=-\sqrt{5} \ \ b=0}\), więc moduł \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2} \ \ \rightlongarrow |z|=\sqrt{(-\sqrt{5})^2}}\) czyli \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{5}}\) a ten wzór de Moivre'a jest wykorzystany ponieważ stopień pierwiastka = 2 a współczynnik \(\displaystyle{ k=1}\). Ostateczna odpowiedź jest taka sama.

[Crizz]

Tylko że my nie obliczamy pierwiastków zespolonych z liczby \(\displaystyle{ 5}\). Mamy zwykłą liczbę \(\displaystyle{ z=-\sqrt{5}}\), którą równie dobrze można by zapisać \(\displaystyle{ z=-2,23606...}\), i zadanie zapisania jej w postaci trygonometrycznej. To, że wynik ci się zgodził dla \(\displaystyle{ k=1}\) jest wzięte zupełnie z kosmosu.

[Webster]

Nie rozumiem, co do mnie rozmawiasz. mam zadania aby zapisać podane liczby w postaci trygonometrycznej. ten podpunkt dotyczy liczby \(\displaystyle{ -\sqrt{5}}\), więc według mojego stanu wiedzy, cześć rzeczywista jest równa \(\displaystyle{ -\sqrt{5}}\) a cześć urojona \(\displaystyle{ 0}\). Dlatego tak dalej to rozpisuję. Jeśli się mylę, to proszę o dokładniejsze uwagi.

[Dasio11]

Webster, opisz proszę dokładnie, w jaki sposób chciałbyś w tym zadaniu wykorzystać wzór de Moivre'a.

[Webster]

\(\displaystyle{ -\sqrt{5} \ \ a=-\sqrt{5} \ \ b=0
\\
|z|=\sqrt{a^2+b^2}
\\
|z|=\sqrt{(-\sqrt{5})^2+0^2}
\\
|z|=\sqrt{5}
\\
cos\alpha=\frac{a}{|z|}=-1 \ \ sin\alpha=\frac{b}{|z|}=0 \ \ \rightarrow \alpha=\pi
\\
\sqrt[n]{z}=cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+isin\frac{\alpha+2k\pi}{n}
\\
z=\sqrt{5}(cos\pi+isin\pi)}\)
W sumie ten wzór na pierwiastek jest niepotrzebny.

[Crizz]

W sumie ten wzór na pierwiastek jest niepotrzebny.

No w końcu