równania z niewiadomą zespoloną

ayako · Post autor: **ayako** » 20 lut 2011, o 11:53

Rozwiązać następujące równania z niewiadomą zespoloną z:

\(\displaystyle{ a) z^{4} + 10z^{2} + 169 = 0}\)
\(\displaystyle{ b) z^{4} - (18-4i)z^{2} + 77 + 36i = 0}\)

Proszę o pomoc w rozwiązaniu, gdyż moja przygoda z liczbami zespolonymi dopiero się rozpoczęła i jeszcze nie wszystko ogarniam:)

PrzeChMatematyk · Post autor: **PrzeChMatematyk** » 20 lut 2011, o 11:56

weź pierwszy przykład
rób jak zwykłe równanie dwukwadratowe(podstaw \(\displaystyle{ t=z^2}\)) i jak coś to pomożemy.

ayako · Post autor: **ayako** » 20 lut 2011, o 12:04

podstawiłam, wychodzi mi delta mniejsza od zera i nie wiem jak dalej to ruszyć.

PrzeChMatematyk · Post autor: **PrzeChMatematyk** » 20 lut 2011, o 12:09

a ile to jest \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) ??

ayako · Post autor: **ayako** » 20 lut 2011, o 12:12

i . Czyli jeśli mam deltę w tym przypadku \(\displaystyle{ \sqrt{-576}}\) to zapisuje jako \(\displaystyle{ 576i}\).
Wychodzą mi 2 wyniki - \(\displaystyle{ -5-288i}\) i \(\displaystyle{ -5+288i}\), odrzucam któryś przypadek czy mam dla obu rozwiązań liczyć dalej? I jak wyciągnąć z tych liczb pierwiastek?

PrzeChMatematyk · Post autor: **PrzeChMatematyk** » 20 lut 2011, o 12:30

raczej 24i bo pierwiastek z 576

ayako · Post autor: **ayako** » 20 lut 2011, o 12:35

a no faktycznie, to wtedy nadal mam problem jak wyciągnąć liczbę zespoloną spod pierwiastka.. powinnam odrzucić którąś opcję?

Crizz · Post autor: **Crizz** » 20 lut 2011, o 13:01

Nie odrzucasz żadnej.

np. \(\displaystyle{ -5-24i=(x+yi)^2}\)
Rozwijasz prawą stronę, przyrównujesz części urojone oraz części rzeczywiste liczb po obu stronach równości i rozwiązujesz otrzymany układ równań.

ayako · Post autor: **ayako** » 20 lut 2011, o 13:29

Wyszły mi 4 wyniki po rozwiązaniu tych nierówności. To już rozwiązania mojego równania czy to wyznaczone jest dopiero \(\displaystyle{ z^{2}}\) i jeszcze raz muszę powtórzyć obliczanie pierwiastków ? Jeśli to wszystko to z drugim już analogicznie powinnam sobie poradzić:)

Crizz · Post autor: **Crizz** » 20 lut 2011, o 13:44

Tzn., żeby nie było niejasności:

\(\displaystyle{ -5-24i=(x+yi)^2}\) - stąd dwa rozwiązania
\(\displaystyle{ -5+24i=(x+yi)^2}\) - stąd dwa rozwiązania
czyli w sumie cztery rozwiązania (więcej nie ma, bo równanie jest czwartego stopnia).

ayako · Post autor: **ayako** » 20 lut 2011, o 13:47

Z dokładnością \(\displaystyle{ 12i}\), ale zrozumiałam już sposób. Także dziękuję za pomoc, drugie już też jest do zrobienia.