pierwiastek z liczby zespolonej

[rainbow91]

Witam.
Zastanawia mnie jedna rzecz, która utrudnia mi wiele zadań.
A mianowicie mam podaną liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=-4}\), chcę policzyć \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\), ale do tego potrzebuje \(\displaystyle{ r}\), które jest równe wartości bezwzględnej z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\), czyli jest równe \(\displaystyle{ 4}\). I dalej chcę policzyć \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Wg mnie możliwe są aż cztery rozwiązania dla tych liczb, czyli \(\displaystyle{ a=2, b=2}\), \(\displaystyle{ a=2, b-2}\), \(\displaystyle{ a=-2, b=2}\), \(\displaystyle{ a=-2, b=-2}\).Które wybrać ?

[?ntegral]

Każdą liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z}\) można przedstawić w postaci kanonicznej:

\(\displaystyle{ z=a+bi, \quad a,b \in \mathbb{R}}\)

Dla \(\displaystyle{ z=-4}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-4\\ b=0 \end{cases}}\)

Postać trygonometryczna:

\(\displaystyle{ z=4(\cos{\pi}+i\sin{\pi})}\)

Liczba ta jest wyznaczona jednoznacznie.

[rainbow91]

Czyli zawsze,gdy postać liczby zespolonej nie posiada jednostki urojonej to
\(\displaystyle{ b=0}\)?

[?ntegral]

Tak. Gdy \(\displaystyle{ b=0}\), to część urojona liczby zespolonej równa jest zero.

Przykład.

\(\displaystyle{ z=2+3i}\)

Jest to liczba zespolona, w której cześć urojona jest różna od zera.

\(\displaystyle{ z=7+0i=7}\)

Jest to liczba zespolona, w której część urojona wynosi zero.

[rainbow91]

Dziękuje

Probuję z tego przykładu policzyć wszystkie pierwiastki czwartego stopnia. Zaczełam od pierwszego i chyba już utknęłam, nie wiem co z robić z takim wynikiem(dla \(\displaystyle{ k=0}\)):
\(\displaystyle{ w=\sqrt[4]{4}\left(\frac{{\sqrt{2}}}{2}+i\frac{{\sqrt{2}}}{2}\right)}\)

hmm, co lepsze po policzeniu wszystkich wyszło mi to samo, tzn wszystkie cztery pierwiastki są identyczne, czy to możliwe ?

[Crizz]

Niemożliwe.

Kolejnym z pierwiastków będzie:
\(\displaystyle{ w_1=\sqrt[4]{4}\left(\cos\frac{\pi+2\pi}{4}+i \cdot \sin\frac{\pi+2\pi}{4}\right)=\sqrt[4]{4}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i \cdot \sin\frac{3\pi}{4}\right)=\sqrt[4]{4}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}\)
itd.

[rainbow91]

Tak, już wiem, gdzie robiłam błąd. Źle stosowałam wzory redukcyjne.
Ale tak czy siak nurtuje mnie ta forma...Nie da się tego uprościć ?

[sushi]

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{4}= \sqrt{2}}\)