Sprzężenie liczby zespolinej i usuwanie modułu

[marcin1606]

Witam. Chciałbym, żeby ktoś sprawdził czy poprawnie wykonałem sprzężenie liczby zespolonej i wytłumaczył dlaczego w taki sposób usuwamy moduł.
\(\displaystyle{ I= \frac{6e^{ \frac{j \pi }{4} }}{8+j}}\)

\(\displaystyle{ U=20e ^{ \frac{j \pi }{4} }}\)

\(\displaystyle{ S= \frac{1}{2}U \vec{I}}\), gdzie \(\displaystyle{ \vec{I}}\)-I sprzężone
Zamieniam postać wykładniczą na trygonometryczną i usuwam część urojoną z mianownika przez jego sprzężenie
\(\displaystyle{ I=\frac{6(cos( \frac{ \pi }{4} )+jsin( \frac{ \pi }{4} )(8-j)}{(8+j)(8-j)}}\)

\(\displaystyle{ I=\frac{6(\frac{ \sqrt{2} }{2} +j \frac{ \sqrt{2} }{2} )(8-j)}{65}}\)
Po wymnożeniu i pogrupowaniu wyrazów
\(\displaystyle{ I=\frac{3\sqrt{2}(9+j7)}{65}}\)
Zatem I sprzężone wynosi:
\(\displaystyle{ \vec{I}=\frac{3\sqrt{2}(9-j7)}{65}}\)

\(\displaystyle{ U=20e ^{ \frac{j \pi }{4} }=20(cos( \frac{ \pi }{4} )+jsin( \frac{ \pi }{4} )=20(\frac{ \sqrt{2} }{2} +j \frac{ \sqrt{2} }{2} )=10 \sqrt{2}(1+j)}\)

\(\displaystyle{ S= \frac{1}{2}U \vec{I}}\)

\(\displaystyle{ S= \frac{1}{2}*10 \sqrt{2}(1+j)* \frac{3\sqrt{2}(9-j7)}{65}= \frac{480+2j}{13}}\)
Drugie zadanie, z którym mam problem to:
\(\displaystyle{ |40|=|300-jX _{L}|}\)
Po podniesieniu do kwadratu otrzymuję coś takiego:
\(\displaystyle{ 40^{2}=300^{2}+(X _{L})^{2}}\)-tu za każdym razem wykładowca podaj takie coś i nie wiem dlaczego. Domyślam się, że podnosi część rzeczywistą i urojoną do kwadratu osobno. Czy tak wolno?? Nie powinien podnieść to zgodnie z worem skróconego mnożenia??

[sushi]

\(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ |Z|= \sqrt{a^2+b^2}}\)

[marcin1606]

Jasne. Dziękuje bardzo za odpowiedź. A to sprzężenie poprawnie zrobiłem??

[sushi]

\(\displaystyle{ (8+i)(8-i)= 64+1=65}\) reszty nie sprawdzalem, czy dobrze licznik wymnozony

[marcin1606]

Rozumiem. Chciałem tylko wiedzieć, czy tok postępowania jest dobry.