rozwiązać równanie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
okon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 731
Rejestracja: 12 paź 2008, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 170 razy
Pomógł: 16 razy

rozwiązać równanie

Post autor: okon »

Rozwiązać równanie w dziedzinie zepolonej:
\(\displaystyle{ lnz=-1-i}\)


Czy powinienem zacząć tak?

\(\displaystyle{ e^{-1-i}=z}\)
\(\displaystyle{ e^{-1-i}=x+iy}\)

??
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

rozwiązać równanie

Post autor: miki999 »

A \(\displaystyle{ e^{-1-i}}\) to inaczej? I po co obierasz postać zeta \(\displaystyle{ x+iy}\)? Nie łatwiej byłoby wykładniczą?
Awatar użytkownika
okon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 731
Rejestracja: 12 paź 2008, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 170 razy
Pomógł: 16 razy

rozwiązać równanie

Post autor: okon »

A e^{-1-i} to inaczej?
?
Nie łatwiej byłoby wykładniczą?
\(\displaystyle{ z=re^{i\phi}}\) ?
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

rozwiązać równanie

Post autor: miki999 »

\(\displaystyle{ z=re^{i\phi} ?}\)
Tak. Teraz lewą stronę wystarczy sprowadzić do takiej postaci i masz rozw. zadania.
Awatar użytkownika
okon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 731
Rejestracja: 12 paź 2008, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 170 razy
Pomógł: 16 razy

rozwiązać równanie

Post autor: okon »

\(\displaystyle{ lnz= \frac{z-\overline{z}}{2i}}\)

A może z tego korzystać?

czyli bym mial:

\(\displaystyle{ \frac{z-\overline{z}}{2i}=-1-i}\)

czyli:
\(\displaystyle{ x+iy -(x-iy)= 2i(-i-1)}\)
\(\displaystyle{ 2iy=2-2i}\)

i jakoś dalej...

poprawinie czy bzdury?

no i nie wiem jak tym Twoim sposobem zrobić, czyli postacią wykładniczą...
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

rozwiązać równanie

Post autor: miki999 »

Ale nie idźmy w inną stronę.
\(\displaystyle{ e^{-1-i}=z}\)
Zaczęłaś dobrze. \(\displaystyle{ e^{-1-i}}\) to pewna liczba zespolona, którą da się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ re^{i\varphi}}\). Działania na potęgach znasz i wiesz, że \(\displaystyle{ a^{b+c}=a^b \cdot a^c}\)- wykorzystaj to.


Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
okon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 731
Rejestracja: 12 paź 2008, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 170 razy
Pomógł: 16 razy

rozwiązać równanie

Post autor: okon »

\(\displaystyle{ \frac{1}{e} + \frac{1}{e^i} =re^{i\varphi}}\)
albo lepiej tak:

\(\displaystyle{ e^{-1} + e^{-i} =re^{i\varphi}}\)
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

rozwiązać równanie

Post autor: miki999 »

\(\displaystyle{ e^{-1}+e^{-i} \neq e^{-1-i}}\)
Awatar użytkownika
okon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 731
Rejestracja: 12 paź 2008, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 170 razy
Pomógł: 16 razy

rozwiązać równanie

Post autor: okon »

\(\displaystyle{ e^{-1} \cdot e^{-i} = e^{-1-i}}\)

\(\displaystyle{ e^{-1} \cdot e^{-i} =re^{i\varphi}}\)
..?
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

rozwiązać równanie

Post autor: miki999 »

Tak. Jak Ci się chce możesz to zamienić np na postać trygonometryczną lub na \(\displaystyle{ x+yi}\).


Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
okon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 731
Rejestracja: 12 paź 2008, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 170 razy
Pomógł: 16 razy

rozwiązać równanie

Post autor: okon »

No chce to rozwiązać jak najprostszym sposobem.

Czyli to równanie jak mam rozumiec?
\(\displaystyle{ e^{-1} \cdot e^{-i} =re^{i\varphi}}\)

\(\displaystyle{ r= \frac{1}{e}}\)
\(\displaystyle{ \varphi=-1}\)

i ostatecznie to:

\(\displaystyle{ x=rcos(\varphi)}\)
\(\displaystyle{ y=rsin(\varphi)}\)

stąd:
\(\displaystyle{ x= \frac{cos(-1)}{e}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{sin(-1)}{e}}\)
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

rozwiązać równanie

Post autor: miki999 »

Z własności tryg. \(\displaystyle{ z= \frac{\cos 1}{e}- \frac{\sin 1}{e}i}\).

Ale postać \(\displaystyle{ \frac{e^{-i}}{e}}\) też jest ok.


Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
okon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 731
Rejestracja: 12 paź 2008, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 170 razy
Pomógł: 16 razy

rozwiązać równanie

Post autor: okon »

OK, dzieki wielkie
ODPOWIEDZ