Liczby zespolone na płaszczyźnie.

[sushi15]

Witam
Mam do narysowania na płaszczyźnie

\(\displaystyle{ 1<|z+1-i|\le|z|}\)
i
\(\displaystyle{ \frac\pi3<\arg\left(2z^2\right)\le\pi}\)

Proszę o jakieś wskazówki od czego zacząć bo sam nie bardzo się orientuje
Będę wdzięczny za każdą pomoc.

[kolorowe skarpetki]

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}}\). Moduł liczby zespolonej to \(\displaystyle{ \vert z \vert = \sqrt{x^2+y^2}}\).

\(\displaystyle{ z+1-i=x+iy+1-i=x+1+ i \cdot (y-1) \, \ \Rightarrow \, \vert z+1-i \vert =\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}}\)

Wstawić powyższe dane i rozwiązać na płaszczyźnie rzeczywistej.

Co to jest argument liczby zespolonej-pytanie do drugiego zadania?

[sushi15]

a jak to narysować??
dobrze??
nie wiem jak rozpisać 1<|z+1-i|

[kolorowe skarpetki]

Rozumiem, że drugie zadanie Cię nie interesuje - zignorowałeś pytanie.

\(\displaystyle{ 1< \vert z+1-i \vert \leq \vert z \vert}\)

\(\displaystyle{ 1 < \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2} \, \big /^2 \quad \wedge \quad \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2} \leq \sqrt{x^2+y^2}\, \big /^2}\)

\(\displaystyle{ 1<(x+1)^2+(y-1)^2 \quad \wedge \quad (x+1)^2+(y-1)^2 \leq x^2+y^2}\)

\(\displaystyle{ 1<(x+1)^2+(y-1)^2 \quad \wedge \quad x^2+2x+1+y^2-2y+1\leq x^2+y^2}\)

\(\displaystyle{ 1<(x+1)^2+(y-1)^2 \quad \wedge \quad 2x+2\leq 2y}\)

\(\displaystyle{ 1<(x+1)^2+(y-1)^2 \quad \wedge \quad y \geq x+1}\)

Pierwsze to równanie okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ S(-1,1)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=1}\). Obszar, który Cię interesuje to wszystko co poza okręgiem (bez obręczy), drugie to funkcja linowa - Ciebie interesuje wszystko co nad prostą, włącznie z nią. Na końcu trzeba wziąć część wspólną tych dwóch obszarów.

[sushi15]

OK mniej wiecej rozumiem a wracając do drugiego przykładu to argument liczby zespolonej to jest
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ x}{|z|}

sin \alpha = \frac{ y}{|z|}}\)
argument to ta \(\displaystyle{ \alpha}\)

czyli za z mam podstawić x+i*y wyjdzie mi liczba zespolona jakaś zamienić ją na postać trygonometryczną i próbować znaleźć tą \(\displaystyle{ \alpha}\)??
Sory jeżeli coś pomieszałem

[Crizz]

Skorzystaj najpierw ze wzorów:
\(\displaystyle{ Arg(z_1z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2)}\)
\(\displaystyle{ Arg(z^n)=n \cdot Arg(z)}\)
a potem pomyśl, gdzie na płaszczyźnie Gaussa leżą liczby, których argument wynosi, dajmy na to, \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\). Pokaż przekształcenia.