wzór de morgana

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Maniut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 91
Rejestracja: 2 lis 2009, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

wzór de morgana

Post autor: Maniut »

Witam, mam problem z zadaniem,

Korzystając ze wzoru De Morgana uzasadnij równość:

\(\displaystyle{ (\cos \varphi - i \sin \varphi) ^{n}= \cos n \varphi - i \sin n \varphi}\)
miodzio1988

wzór de morgana

Post autor: miodzio1988 »

Na pewno de Morgana? A nie de Moivre'a ?
Maniut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 91
Rejestracja: 2 lis 2009, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

wzór de morgana

Post autor: Maniut »

De Morgana - takie jest polecenie.-- 16 lut 2011, o 23:10 --choć możliwe, że pomylił się autor.
miodzio1988

wzór de morgana

Post autor: miodzio1988 »

z de Moivre'a od razu masz wynik
Awatar użytkownika
rtuszyns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2042
Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 229 razy

wzór de morgana

Post autor: rtuszyns »

Maniut pisze:De Morgana - takie jest polecenie.

-- 16 lut 2011, o 23:10 --

choć możliwe, że pomylił się autor.
Autor mógł się pomylić, bo dla liczb zespolonych jest wzór de Moivre'a.
Maniut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 91
Rejestracja: 2 lis 2009, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

wzór de morgana

Post autor: Maniut »

no myśle, ze jednak nie chodzi o to, bo tą równość mam uzasadnić.
miodzio1988

wzór de morgana

Post autor: miodzio1988 »

A o co niby? Morgana tutaj nie zastosujesz
Maniut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 91
Rejestracja: 2 lis 2009, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

wzór de morgana

Post autor: Maniut »

no pewnie chodzi o de Moivre'a, ale chodzi o to, by tutaj uzasadnijć tę równość.
miodzio1988

wzór de morgana

Post autor: miodzio1988 »

No to mamy banalne zadanie. Wystarczy na ten wzor sie powolac
Awatar użytkownika
rtuszyns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2042
Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 229 razy

wzór de morgana

Post autor: rtuszyns »

Zobacz, że:

\(\displaystyle{ \cos\varphi =\frac{{\rm Re}z}{|z|}\\
\sin\varphi =\frac{{\rm Im}z}{|z|}}\)

Masz więc: \(\displaystyle{ z={\rm Re}z+i{\rm Im}z}\)

Wstawiaj do wzoru na potęgowanie i już...
Maniut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 91
Rejestracja: 2 lis 2009, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

wzór de morgana

Post autor: Maniut »

\(\displaystyle{ L = (a + ib) ^{k+1} =(a + ib) ^{k}(a+ib) = \left| z \right| ^{k} (\cos k \varphi + i \sin \varphi) \cdot \left| z \right| (\cos k \varphi + i \sin \varphi)= \left| z \right| ^{k + 1} (\cos k \varphi \cos \varphi + i \cos k \varphi \sin \varphi + i \sin k \varphi \cos \varphi - \sin k \varphi \sin \varphi) = \left| z \right| ^{k + 1} [\cos k \varphi \cos \varphi - \sin k \varphi \sin \varphi + i(\sin k \varphi \cos \varphi + \cos k \varphi \sin \varphi)] = \left| z \right| ^{k + 1} [\cos (k + 1) \varphi + i \sin (k+1) \varphi] = P}\)

ok juz mam, o takie cos chodzilo
ODPOWIEDZ