granica ciagu rekurencyjnego liczb zespolonych

[evelinka1987]

Hejka, słuchajcie mam taki problem...

Musze wyznaczyc granice takiej funkcji zespolonej.

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to + \infty } z_{n} , gdzie \begin{cases} z_{0} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}i \\ z_{n}= z_{n-1} ^{2} + \frac{1}{2}i \end{cases}}\)

nie za bardzo wiem jak to ugryźć. Z tego co wiem to jest to ciag rekurencyjny.

Pozdrawiam i dzieki za pomoc..

[xiikzodz]

Jeśli to jakoś pokażemy że ciąg jest zbieżny, wówczas jego granicą jest liczba \(\displaystyle{ g}\) spełniająca równanie:

\(\displaystyle{ g=g^2+\frac i2}\),

czyli jedna z liczb:

\(\displaystyle{ g_i=\frac{1+t_i}{2}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2}\)

gdzie \(\displaystyle{ t_i}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ t^2=1-2i}\).

Pokazanie zbieżności wymaga pewnego wysiłku i niekoniecznie da się zrobić zgrabnie (zbiór wartości \(\displaystyle{ z_0}\) dla których ten ciąg rekurencyjny jest zbieżny jest dość niewygodny w opisie...).

Jeśli mamy szczęście, to może zadziałać następujący argument:

Niech

\(\displaystyle{ w_n=z_n-t}\)

dla \(\displaystyle{ t}\) spełniającego \(\displaystyle{ t^2-t+\frac 12=0}\) (wybieramy jeden a potem ewentualnie drugi pierwiastek).

Wówczas:

\(\displaystyle{ w_{n+1}=w_n(w_n+2t)}\).

Na pewnej kuli o środku w zerze funkcja \(\displaystyle{ f(z)=z(z-2t)}\) jest zwężająca i jeśli \(\displaystyle{ w_0=z_0-t}\) leży w tej kuli, to koniec, a jeśli nie, to trzeba czegoś innego spróbować.

[evelinka1987]

mhm.. kurde trudne to... ;/ myslałam ze to jest prostsze tylko jest jakis myk ktorego nie zauwazyłam..