Moduł różnicy liczb zespolonych - dowód.

[Michaell65]

Witam,

tak jak w temacie proszę o wyznaczenie dowodu dla "Moduł różnicy liczb zespolonych"
\(\displaystyle{ \left| z_{1}- z_{2} \right| \ge \left| \left| z_{1} \right|- \left| z_{2} \right| \right|}\)

jeżeli można to także z wyjaśnieniami, ponieważ nie mogę tego nigdzie znaleźć, a chcę to dobrze zrozumieć.

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ \left| \left| z_1\right|-\left| z_2\right| \right| \le \left| z_1-z_2\right| \\ \\
\left| z_1\right|=\left| z_1-z_2+z_2\right| \le \left| z_1-z_2\right|+\left| z_2\right| \Rightarrow \left| z_1\right|-\left| z_2\right| \le \left| z_1-z_2\right| \\
\left| z_2\right|=\left| z_2-z_1+z_1\right| \le \left| z_2-z_1\right|+\left| z_1\right| \le \left| z_1-z_2\right| +\left| z_1\right| \Rightarrow -\left| z_1-z_2\right| \le \left| z_1\right|-\left| z_2\right|\\ \\
\text{czyli} \\
-\left| z_1-z_2\right| \le \left| z_1\right|-\left| z_2\right| \le \left| z_1-z_2\right| \\
\left| \left| z_1\right|-\left| z_2\right| \right| \le \left| z_1-z_2\right|}\)

[Michaell65]

\(\displaystyle{ \\ \left| z_1\right|=\left| z_1-z_2+z_2\right| \le \left| z_1-z_2\right|+\left| z_2\right|}\)

możesz to wytłumaczyć łopatologicznie?

[Lbubsazob]

Np. \(\displaystyle{ \left| 5\right| =\left| 5-1+1\right| \le \left| 5-1\right|+\left| 1\right|}\).

A że \(\displaystyle{ \left| x+y\right| \le \left| x\right| + \left| y\right|}\) to jedna z własności wartości bezwzględnej.

[steal]

Np. \(\displaystyle{ \left| 5\right| =\left| 5-1+1\right| \le \left| 5-1\right|+\left| 1\right|}\)

Lepiej to widać na takim przykładzie:
\(\displaystyle{ \left| 5\right| =\left| 5-6+6\right| \le \left| 5-6\right|+\left| 6\right|}\)