Pierwiastki wielomianu - dowód.

[tometomek91]

Niech \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) będą dwoma wielomianami stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\). Dowieść, że jeśli istnieje \(\displaystyle{ 2n+1}\) różnych liczb \(\displaystyle{ z_1,...,z_{2n+1}}\), takich, że wielomian \(\displaystyle{ P^2-Q^2}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ z-z_k}\) dla \(\displaystyle{ k=1,...,2n+1}\) to \(\displaystyle{ P= \pm Q}\).

[Qń]

Z podanych warunków wynika, że \(\displaystyle{ P^2-Q^2}\) ma \(\displaystyle{ 2n+1}\) pierwiastków. A ponieważ jest stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2n}\), więc musi być wielomianem zerowym. Stąd łatwo wynika teza.

Q.

[tometomek91]

Wielkie dzięki. To zadanie z kolokwium więc raczej nie powinno być błędu w treści, a czy teza będzie nadal prawdziwa, gdy będzie istniało \(\displaystyle{ 2n}\) takich liczb \(\displaystyle{ z_k}\)?

[Qń]

Nie, wtedy może być na przykład:
\(\displaystyle{ P(x)=\frac 12 \cdot \left( \prod_{k=0}^{n-1} (z-2k) + \prod_{k=0}^{n-1} (z-2k-1)\right) \\
Q(x)=\frac 12 \cdot \left( \prod_{k=0}^{n-1} (z-2k) - \prod_{k=0}^{n-1} (z-2k-1)\right)}\)
i pierwiastkami \(\displaystyle{ P^2-Q^2}\) są \(\displaystyle{ 0,1,2,\ldots 2n-1}\).

Q.