Działanie na liczbie zespolonej

[Fisher90]

Kurcze, jeszcze nigdy tak długo jednego zadania nie mogę rozkimać.
Mam jak narazie to:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}+i)^{30}}\)
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ \sqrt{3} ^{2} +1 ^{2} }= \sqrt{3+1} = \sqrt{4}=2}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi= \frac{1}{2}}\)
Co teraz?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \cos\varphi= \frac{ \sqrt{3} }{2}
\sin\varphi= \frac{1}{2}}\)

Wyznacz kąt który spełnia te dwa warunki

[Fisher90]

Jest to kąt o mierze 80 stopni, który ma miarę w radianach równą \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\)
Dzięki miodzio1988, że nadal starasz mi się pomóc.

[miodzio1988]

Ten kąt ma miarę 30 stopni.

No to ostatecznie jak wyglada postac trygonometryczna?

[Fisher90]

Źle wówczas napisałem, zamiast 3 wcisnąłem 8, sorki.
Postać trygonometryczna ma wg mnie postać następującą:
\(\displaystyle{ z=2(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6})}\)

[miodzio1988]

No super. To teraz bierzemy się za liczenie tej potęgi. Wiesz jak wzór de Moivre'a wygląda? Jak tak to podstaw do tego wzoru

[Fisher90]

Po podstawieniu do wzoru Moivre`a wygląda to wg mnie tak:
\(\displaystyle{ 2(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6})^{30}}\)

[miodzio1988]

Po podstawieniu do wzoru Moivre`a wygląda to wg mnie tak:
\(\displaystyle{ 2(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6})^{30}}\)

No nie tak wygląda to po wstawieniu do wzoru..

[Fisher90]

Poprawiam, po podstawieniu powinno to tak wyglądać:
\(\displaystyle{ 2^{30}(\cos \frac{30\pi}{6}+i\sin \frac{30\pi}{6})}\)
Teraz powinno się zgadzać

[miodzio1988]

No spoko. Teraz dolicz to

[Fisher90]

Aż się boję pisać moje liczenie, bo palne coś znów źle i dopiero będzie
Kontynuując liczenie:
\(\displaystyle{ =2^{30}(\cos5\pi+i\sin5\pi)}\)

[miodzio1988]

Ok. Teraz te sinusy i cosinusy policz

[Fisher90]

Korzystając ze wzorów redukcyjnych?

[miodzio1988]

Zgadza się ( z okresowosci tez mozesz korzystac)

[Fisher90]

Tak wtrącę. Kąt zapisany w radianach, który wynosi \(\displaystyle{ 5\pi}\) znajduje się na osi x pomiędzy II, a III połówką (ponieważ z tego co się orientuje to wyjdzie 2,5 obrotu)?