Działanie na liczbie zespolonej

[Fisher90]

Mam do obliczenia \(\displaystyle{ ( \sqrt{3}+i)^{30}}\)
Nie wiem, jak to obliczyć, zatem proszę o pomoc. Nie znam prawidłowego wyniku.

Tok liczenia:
\(\displaystyle{ | \sqrt{3}+i|= \sqrt{ \sqrt{3}^{2}+i^{2}}= \sqrt{3+ \sqrt{-1}^{2}}= \sqrt{3-1}= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi= \frac{x}{|z|}= \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} }\cdot \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{4} }= \frac{ \sqrt{6} }{2}}\)<---czy ja czegoś źle nie zrobiłem?
\(\displaystyle{ \sin\varphi= \frac{y}{|z|}=\frac{1}{ \sqrt{2} }\cdot \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{4} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \varphi=}\) Co tu powinno teraz być? Mam pewne wrażenie, że źle obliczyłem wartość \(\displaystyle{ \cos}\), ponieważ ta wartość żadnemu kątowi nie odpowiada, przynajmniej mnie się tak wydaje.
Proszę o pomoc.

[miodzio1988]

zle jest moduł nawet policzony...

[Fisher90]

Powinno być tak (moduł):\(\displaystyle{ | \sqrt{3}+i|= \sqrt{ \sqrt{3}^{2}+i^{2}}= \sqrt{3+ \sqrt{-1}^{2}}= \sqrt{3+1}= \sqrt{4}=2}\)
Teraz dobrze?

[miodzio1988]

dalej jest fatalnie. Wzór na moduł jest inny

[Fisher90]

Teraz dobrze (chyba zamiast \(\displaystyle{ i}\) powinienem podstawić \(\displaystyle{ 1}\), bo przecież on jest współczynnikiem b):
\(\displaystyle{ z= \sqrt{3}+i}\)
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{a^{2}+b^{2} }= \sqrt{ \sqrt{3}^{2}+1^{2} }= \sqrt{3+1}= \sqrt{4}=2}\)
Jeśli teraz jest źle obliczony moduł no to ja już nie wiem, jak go obliczyć.

[miodzio1988]

Teraz kąt

[Fisher90]

no to dalej wg mnie powinno być tak:
\(\displaystyle{ \cos\varphi= \frac{x}{|z|}= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi= \frac{y}{|z|}= \frac{1}{2}}\)
Zatem te wartości odpowiadają kątowi 30 stopni, który w radianach zapisuje się w postaci: \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\)
Zatem wartość kąta:
\(\displaystyle{ \varphi=2\pi- \frac{\pi}{6}= \frac{12}{6}\pi- \frac{1}{6}\pi= \frac{11}{6}\pi}\)
Dobrze obliczyłem?

[miodzio1988]

Zatem te wartości odpowiadają kątowi 30 stopni

ehem...Od razu ta myśl Ci daje odpowiedz

[Fisher90]

No dobra. Dalej to leci według mnie tak:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}+i)^{30}=(2(\cos \frac{11}{6}\pi+i\sin \frac{11}{3\pi} )^{30}=2^{30}(\cos \frac{30\cdot11}{6}\pi+i\sin \frac{30\cdot11}{6}\pi)=2^{30}(\cos \frac{330}{6}\pi+isin \frac{330}{6}\pi)=2^{30}(\cos55\pi+i\sin55\pi)=}\)
Co dalej z tym zrobić?

[miodzio1988]

Nie.

Zatem wartość kąta:
\(\displaystyle{ \varphi=2\pi- \frac{\pi}{6}= \frac{12}{6}\pi- \frac{1}{6}\pi= \frac{11}{6}\pi}\)
Dobrze obliczyłem?

Po co to robisz?

[Fisher90]

Nie.

Zatem wartość kąta:
\(\displaystyle{ \varphi=2\pi- \frac{\pi}{6}= \frac{12}{6}\pi- \frac{1}{6}\pi= \frac{11}{6}\pi}\)
Dobrze obliczyłem?

Po co to robisz?

Robię to po to, aby podstawić do tego co wyżej liczyłem, 1 post wcześniej od tego, w którym zadałeś pytanie po co to robię.

[miodzio1988]

Inaczej. W której ćwiartce jest Twoja liczba zespolona ?

[Fisher90]

w pierwszej wg mnie

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \frac{11}{6}\pi}\)

a taki kąt to raczej która ćwiartka?

[Fisher90]

No teraz to mnie zagiąłeś. Hmm, chyba w IV, ale nie jestem pewien.