Działanie na liczbie zespolonej

[Fisher90]

No miałem obliczyć wartości \(\displaystyle{ sin\pi}\) i \(\displaystyle{ cos\pi}\) korzystając ze wzorów na okresowość funkcji trygonometrycznych i zaciąłem się w pewnym momencie:
\(\displaystyle{ sin\pi=sin(\pi+2\codt\pi)=sin(\pi+4\pi)=sin5\pi=...}\)
\(\displaystyle{ cos\pi=cos(\pi+2\cdot2\pi)=cos(\pi+4\pi)=cos5\pi=...}\)
No i nie umiem usunąć tej funkcji trygonometrycznych.

[mazurxD]

z tego co śledziłem ten temat, to miałeś policzyć \(\displaystyle{ \sin 5\pi}\) i \(\displaystyle{ \cos 5\pi}\) z wzorów redukcyjnych, i zrobiłeś to całkiem dobrze, tzn. otrzymałeś \(\displaystyle{ \sin \pi}\) i \(\displaystyle{ \\cos \pi}\) a teraz nie pozostaje nic więcej jak spojrzeć na tablice/wykres i odczytać wartości (co też już zrobiłeś)
A więc musisz teraz to tylko wstawić po kolei tak jak pisałem to do wyrażenia \(\displaystyle{ 2^{30}(\cos 5\pi + i\sin5\pi)}\)

[Fisher90]

Kurcze, ale jestem tępy w tym zadaniu
Pogubiłem się.
Mam, jak dotychczas to:
\(\displaystyle{ (- \sqrt{3} +i)^{30}}\)
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ \sqrt{3}^{2}+1^{2} }= \sqrt{3+1}= \sqrt{4}=2}\)
\(\displaystyle{ cos\varphi= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\varphi= \frac{1}{2}}\)
Powyżej podane wartości spełnia kąt o mierze 30 stopni, który zapisujemy w radianach: \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\)
Użycie wzoru Moivre`a wraz z podstawieniem wartości:
\(\displaystyle{ 2 ^{30}(cos \frac{30\pi}{6} +i\sin \frac{30\pi}{6})=2 ^{30}(cos5\pi+i\sin5\pi)}\)
Co teraz? Zbyt mocno się pogubiłem, więc przepisałem do momentu, do którego rozumiem co z czego się wzięło.

[mazurxD]

skoro rozumiesz to co napisałeś, to super, w razie problemów pytaj
teraz natomiast musisz skorzystać z okresowości sinusa i kosinusa tzn. wstawiasz za \(\displaystyle{ \cos5\pi=\cos\pi}\) bo kosinus jest okresowy co 2\(\displaystyle{ \pi}\) to samo robisz z sinusem, a robisz to dlatego, że w tabelach wartości nie masz wartości \(\displaystyle{ \cos 5\pi}\) tylko \(\displaystyle{ \cos\pi}\)

[Fisher90]

No to korzystając z tych wzorów na okresowość tych dwóch funkcji trygonometrycznych mam:
\(\displaystyle{ sin\pi=sin(\pi+2\cdot2\pi)=sin(\pi+4\pi)=sin5\pi}\)
\(\displaystyle{ cos\pi=cos(\pi+2\cdot2\pi)cos(\pi+4\pi)=cos5\pi}\)
No i teraz pojawia się ten dylemat co ostatnio, co dalej? ;/

[miodzio1988]

Dalej policz lewe strony

[Fisher90]

Czyli jeśli dobrze zrozumiałem mam obliczyć wartość \(\displaystyle{ sin\pi}\) i \(\displaystyle{ cos\pi}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ sin\pi=0}\)
\(\displaystyle{ cos\pi=-1}\)
Co z tym teraz zrobić?

[miodzio1988]

wstawić i masz koniec zadania

[Fisher90]

Wstawić do równań tych
\(\displaystyle{ sin\pi=sin(\pi+2\cdot2\pi)=sin(\pi+4\pi)=sin5\pi}\)
\(\displaystyle{ cos\pi=cos(\pi+2\cdot2\pi)cos(\pi+4\pi)=cos5\pi}\),
czy jednak tych
\(\displaystyle{ 2 ^{30}(cos \frac{30\pi}{6} +i\sin \frac{30\pi}{6})=2 ^{30}(cos5\pi+i\sin5\pi)}\)?
Proszę o wyrozumiałość

[miodzio1988]

zgadnij. Zobacz co masz policzyć i wtedy sam sobie odpowiesz

[Fisher90]

Jeśli się dobrze domyślam, a mam taka nadzieje no to trzeba byłoby to wstawić do równania \(\displaystyle{ 2 ^{30}(cos \frac{30\pi}{6} +i\sin \frac{30\pi}{6})=2 ^{30}(cos5\pi+i\sin5\pi)}\)
Zatem byłoby to tak:
\(\displaystyle{ 2 ^{30}(cos \frac{30\pi}{6} +i\sin \frac{30\pi}{6})=2 ^{30}(cos5\pi+i\sin5\pi)=2^{30}(-1+i0)=}\)
Dobrze?

[miodzio1988]

Dobrze. Już prawie masz wynik

[Fisher90]

Hmm, jak to prawie?
To w takim razie kontynuując liczenie będzie to wyglądało tak:
\(\displaystyle{ =2^{30}(-1)=-2^{30}}\)?

[miodzio1988]

Brawo. Koniec zadania.

[Fisher90]

Wracam do tematu, ponieważ jedno nadal mnie zastanawia, czy jednak przypadkiem nie ma błędu w obliczeniach. Chodzi mi o równanie:
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ \sqrt{3}^{2}+1^{2} }}\)
Tak się zastanawiam, czy przypadkiem nie powinno być tak:
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ (-\sqrt{3})^{2}+1^{2} }}\)
Wtedy reszta obliczeń zmieniłaby się, ponieważ cosinus miałby postać: \(\displaystyle{ \frac{ -\sqrt{3} }{2}}\)
sinus pozostałby tak jak jest, a kąt miałby teraz inną wartość, a mianowicie 150 stopni, czyli \(\displaystyle{ \frac{5}{6}\pi}\)
Wiem, wiem, że liczba zespolona nic nie zmienia, ale wartość "a" wpływa na dalsze liczenie.
Zatem dobrze myślę?