Stosując postać trygonometryczną oblicz:

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
dino6213221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 21 sty 2011, o 09:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 2 razy

Stosując postać trygonometryczną oblicz:

Post autor: dino6213221 »

Witam. Dostałem do obliczenia takie coś:
\(\displaystyle{ (1/i)^n}\)
czy mi ktoś wytłumaczyć dokładnie jak rozwiązuje się takie zadania?
sigmaIpi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 1 paź 2010, o 18:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 53 razy

Stosując postać trygonometryczną oblicz:

Post autor: sigmaIpi »

1. Doprowadź liczbę w nawiasie do postaci a+ib- wymnażając licznik i mianownik przez i
2. Oblicz moduł liczby i zapisz ją w postaci trygonometrycznej
3. Skorzystaj ze wzoru
dino6213221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 21 sty 2011, o 09:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 2 razy

Stosując postać trygonometryczną oblicz:

Post autor: dino6213221 »

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{i} \right) ^n = \left( \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} \right) ^n = \frac{1i}{i^2} = -i}\)
bo
\(\displaystyle{ i^2=-1}\)
czyli
\(\displaystyle{ a=0}\)
\(\displaystyle{ b=-1}\)
zgada się?

teraz
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2 + b^2}= 1}\)

dalej nie wiem co robić możecie podpowiedzieć?
mam taki wzór:
\(\displaystyle{ z^2 \cdot (cos\varphi+ i \cdot sin\varphi)}\)
Ostatnio zmieniony 13 lut 2011, o 11:45 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Ułamek to w LaTeXu '\frac{}{}', litera Fi to '\phi' lub '\varphi', symbol mnożenia to '\cdot'.
sigmaIpi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 1 paź 2010, o 18:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 53 razy

Stosując postać trygonometryczną oblicz:

Post autor: sigmaIpi »

Czyli trzeba znaleźć \(\displaystyle{ \phi}\). Skoro \(\displaystyle{ a=0 , b=-1}\), to szukana przez ciebie liczna leży na osi urojonej w odległości 1 od początku układu poniżej zera Czyli ma "wspołrzędne" (0,-1). Zatem \(\displaystyle{ \phi=-90}\).

generalnie obowiązuje wzór \(\displaystyle{ sin(\phi)=b/|z|}\) oraz \(\displaystyle{ cos(\phi)=a/|z|}\). Skąd się bierze? To jest w każdym podręczniku algebry
Ostatnio zmieniony 13 lut 2011, o 00:06 przez sigmaIpi, łącznie zmieniany 1 raz.
dino6213221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 21 sty 2011, o 09:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 2 razy

Stosując postać trygonometryczną oblicz:

Post autor: dino6213221 »

Podsumowując:
\(\displaystyle{ 1*(cos(0) + sin(1)}\)
czy to jest dobre rozwiązanie?

a gdyby było tak, że a=2 i b=5 to co wtedy?
Ostatnio zmieniony 13 lut 2011, o 00:14 przez dino6213221, łącznie zmieniany 1 raz.
sigmaIpi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 1 paź 2010, o 18:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 53 razy

Stosując postać trygonometryczną oblicz:

Post autor: sigmaIpi »

Przepraszam, żle ci podałam \(\displaystyle{ \phi}\). Robiłam 2 zadania na raz. \(\displaystyle{ \phi =-90}\). Ale metoda jest dobra. Dla innych a i b analogicznie. Liczysz moduł liczby, ze wzoru sinus i cosinus, znajdujesz \(\displaystyle{ \phi}\) i wstawiasz .

Chyba się nie zrozumieliśmy\(\displaystyle{ z=(cos(-90)+isin(-90))}\). I to teraz do potęgi , zgodnie ze wzorem.
ODPOWIEDZ