Przedstaw w postaci trygonometrycznej

[karu]

Mam taki przykład do wyznaczenia pierwiastków: \(\displaystyle{ \sqrt{3+4i}}\)
Wiadomo, że najlepiej obliczyć pierwiastki gdy liczba zespolona będzie przedstawiona w postaci trygonometrycznej i tu rodzi się mój problem. Przykład z pozoru nie wyglądający na trudny, a jednak.

Moduł liczby zespolonej \(\displaystyle{ z=3+4i}\) jest dany: \(\displaystyle{ \left|z \right| = 5}\).
Moje rozwiązywanie zatrzymuje się jednak przy wyznaczeniu kąta, dla którego:
\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{3}{5}}\)

\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{4}{5}}\)


Będę wdzięczny gdy ktoś poda sposób obliczenia tego kąta, a nie tylko wynik
Znając kąt sądzę, że powinienem poradzić sobie z zadaniem dalej

[irena_1]

Ja spróbowałabym tak:
\(\displaystyle{ a,\ b\in\ R\\(a+bi)^2=3+4i\\a^2+2abi+b^2i^2=3+4i\\a^2-b^2+2abi=3+4i\\ \begin{cases} 2ab=4 \\ a^2-b^2=3 \end{cases} \\b=\frac{2}{a}\\a^2-\frac{4}{a^2}=3\ /\cdot\ a^2\\a^4-3a^2-4=0\\\Delta=9+16=25\\a_1^2=\frac{3-5}{2}=-1\ \vee\ a_2^2=\frac{3+5}{2}=4\\a=2\ \vee\ a=-2\\b=1\ \vee\ b=-1\\(2+i)^2=3+4i\\(-2-i)^2=(2+i)^2=3+4i\\\sqrt{3+4i}=2+i\ \vee\ \sqrt{3+4i}=-2-i}\)

[karu]

Jedna rzecz nie daje mi spokoju na samym końcu:

\(\displaystyle{ (2+i)^2=3+4i\\(-2-i)^2=(2+i)^2=3+4i\\\sqrt{3+4i}=2+i\ \vee\ \sqrt{3+4i}=2-i}\)

Bo piszesz w końcu, że \(\displaystyle{ (-2-i)^2=(2+i)^2=3+4i}\)
Potem nagle przy drugim rozwiązaniu pojawia się \(\displaystyle{ -i}\)
Jeśli możesz oświeć mnie, bo chyba ciężko myślę


Tak po za tym bardzo fajny sposób Dzięki wielkie!

[irena_1]

Zabrakło minusa przed dwójką. Już poprawiłam. Przepraszam.