Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
-
Sqall
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 11 lut 2011, o 15:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
Post
autor: Sqall »
Witam,
Niestety jutro egzamin, a ja totalnie nie wiem jak ugryźć poniższe zadanie... Jest w stanie ktoś mi szybko pomoc?
\(\displaystyle{ \overline{z} \cdot z^{4} = -32}\)
Nie wiedziałem jak zapisać liczbę sprzężoną dolb. z. Dlatego ten "niepełny" ułamek.
Z góry dziękuje za pomoc.
Ktoś chętny do pomocy na gg z innymi zadaniami z algebry to kontakt do mnie : 8685979
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Post
autor: sebnorth »
Uzyjemy postaci wykładniczej liczby zespolonej.
Niech \(\displaystyle{ z = re^{i\phi}}\). Wówczas \(\displaystyle{ z}\) sprzęzona \(\displaystyle{ = re^{-i\phi}}\).
Korzystając ze wzoru de Moivre'a mamy:
\(\displaystyle{ re^{-i\phi} \cdot r^{4}e^{4i\phi} = -32}\)
\(\displaystyle{ r^{5}e^{3i\phi} = 32e^{i \cdot 0}}\)
zatem
\(\displaystyle{ \begin{cases} r^{5} = 32 \\ 3\phi = 0 + 2k \pi , k \in Z \end{cases}}\)
Z czego \(\displaystyle{ r = 2, \phi = \frac{2}{3} k \pi , k \in Z}\).