Rozwiąż równanie w dziedzinie sespolonej.

[Sqall]

Witam,

Niestety jutro egzamin, a ja totalnie nie wiem jak ugryźć poniższe zadanie... Jest w stanie ktoś mi szybko pomoc?

\(\displaystyle{ \overline{z} \cdot z^{4} = -32}\)
Nie wiedziałem jak zapisać liczbę sprzężoną dolb. z. Dlatego ten "niepełny" ułamek.

Ukryta treść:    

overline{z} - Althorion

Z góry dziękuje za pomoc.
Ktoś chętny do pomocy na gg z innymi zadaniami z algebry to kontakt do mnie : 8685979

[sebnorth]

Uzyjemy postaci wykładniczej liczby zespolonej.

Niech \(\displaystyle{ z = re^{i\phi}}\). Wówczas \(\displaystyle{ z}\) sprzęzona \(\displaystyle{ = re^{-i\phi}}\).

Korzystając ze wzoru de Moivre'a mamy:

\(\displaystyle{ re^{-i\phi} \cdot r^{4}e^{4i\phi} = -32}\)

\(\displaystyle{ r^{5}e^{3i\phi} = 32e^{i \cdot 0}}\)

zatem

\(\displaystyle{ \begin{cases} r^{5} = 32 \\ 3\phi = 0 + 2k \pi , k \in Z \end{cases}}\)

Z czego \(\displaystyle{ r = 2, \phi = \frac{2}{3} k \pi , k \in Z}\).