Wydzielono z: Pierwiastki liczb zespolonych

[macoslav]

Witam
Mam problem ze znalezieniem wzoru/sposobu na rozwiązanie zadanka:
"Oblicz, wynik podaj w postaci algebraicznej."
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{1+i}{1-i} }}\)
z góry dziękuję

[lysy1616]

Najpierw to co jest pod pierwiastkiem oblicz tj. podziel dzielenie w algebraicznej postaci polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez sprzężenie mianownika:

\(\displaystyle{ \frac{ x_{1}+ iy_{1}}{ x_{2}+i y_{2} }}\) górę i dół mnożysz przez \(\displaystyle{ x_{2}-i y_{2}}\)

u mnie wyszło po podzieleniu \(\displaystyle{ i}\)

następnie ze wzorów de Moivre'a

liczysz sobie pierwiastki. tych pierwiastków będzie 3 ponieważ stopień jest równy 3.
tych wyników będzie 3 sztuki w postaci trygonometrycznej a później zamień tylko na algebraiczną i już.

jak czego nie będziesz wiedzieć to pisz.

[macoslav]

Wyszło mi
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\)
Ze wzorów na "Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1-ki" wyszło mi
\(\displaystyle{ i^{ \frac{1}{3} } = cos \frac{2k \pi}{3} + isin \frac{2k \pi }{3}}\)
nie wiem co z tym dalej zrobić żeby wyszły 3 wyniki

[macoslav]

Znalazł by się ktoś uprzejmy, kto by to rozwiązał krok po kroku, najlepiej przytaczając po drodze potrzebne twierdzenia lub wzory. Sęk w tym że nie potrafię zastosować wzorów de Moivre'a - najlepiej mi się uczy poprzez analizę przykładów

[Crizz]

No ale tu już nie ma dużo więcej kroków, tylko argument jest źle wyznaczony.

\(\displaystyle{ \frac{1+i}{1-i}=\frac{1+i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i}=\frac{(1+i)^2}{2}=\frac{1+2i-i}{2}=i}\).

Mamy obliczyć \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\). Wyznaczamy postać trygonometryczną liczby \(\displaystyle{ i}\):
\(\displaystyle{ i=0+1\cdot i}\)
\(\displaystyle{ |i|=\sqrt{0^2+1^2}=1}\)
\(\displaystyle{ i=1 \cdot (0+ 1 \cdot i)}\)
Szukamy takiego kąta \(\displaystyle{ \varphi}\), że \(\displaystyle{ \cos\varphi=0,\sin\varphi=1}\). Oczywiście \(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{2}}\). Mamy zatem:
\(\displaystyle{ i=1 \cdot \left( \cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2} \right)}\)
Teraz korzystamy ze wzoru na pierwiastki z liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ w_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}\)
dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,...,n-1}\).

W naszym przypadku \(\displaystyle{ n=3,|z|=1}\), zatem:
\(\displaystyle{ w_0=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}}{3}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}}\)
\(\displaystyle{ w_1=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}\right)=\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}}\)
(skorzystaliśmy ze wzorów redukcyjnych \(\displaystyle{ \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha}\))
\(\displaystyle{ w_2=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}\right)=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}=-\cos\frac{\pi}{2}-i\sin\frac{\pi}{2}=-i}\)
(to z kolei wzory redukcyjne dla kąta \(\displaystyle{ \pi+\alpha}\))

[macoslav]

Dziękuję za wyczerpującą odpowiedź, teraz już rozumiem. Mam jeszcze jedno dodatkowe pytanie - mianowicie, jeżeli to są pierwiastki liczby zespolonej to jak to przedstawić graficznie? Na pewno to będą wierzchołki trójkąta równobocznego (bo\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ }}\)) znajdujące się na okręgu o jakimś promieniu...

[Dasio11]

Tak, bo jeśli \(\displaystyle{ \alpha_0^n=\alpha,}\) to

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\alpha} = \{ \alpha_0, \varepsilon \alpha_0, \varepsilon^2 \alpha_0, \ldots , \varepsilon^{n-1} \alpha_0 \}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon= \cos \frac{2 \pi}{3} + \mbox i \sin \frac{2 \pi}{3}.}\)

Odległość między kolejnymi wierzchołkami (\(\displaystyle{ k}\)-tym i \(\displaystyle{ k+1}\)-ym) to

\(\displaystyle{ \left| \varepsilon^{k-1} \alpha_0 - \varepsilon^k \alpha_0 \right| = \left| \varepsilon \right|^{k-1} \left| \alpha_0 \right| \left| \varepsilon - 1 \right| = 1^{k-1} \left| \alpha_0 \right| \left| \varepsilon - 1 \right|}\)

i nie zależy od \(\displaystyle{ k.}\) Dlatego każdy bok będzie miał tę samą długość, a ponieważ wierzchołki leżą na jednym okręgu, to \(\displaystyle{ n}\)-kąt będzie foremny. Dla \(\displaystyle{ n=3}\) też działa.

P.S. Oczywiście rachunek nie psuje się na krańcu, bo \(\displaystyle{ \varepsilon^n=1.}\)