Witam, to mój pierwszy post, chciałem Was poprosić o pomoc w zadaniu:
a) Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ z;\left| z\right| ^{2} \le 2im\left( z\right) \right\}}\)
b) Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ z ^{6}+8i=0}\) oznaczając jako zbiór \(\displaystyle{ B}\) i wyznaczyć zbiór \(\displaystyle{ A \cap B}\)
Mógłby mi ktoś pokazać jak dojść do równania okręgu z a) i jak to drugie równanie przedstawić w innej formie?
Pozdrawiam
Zbiór na płaszczyźnie zespolonej
Zbiór na płaszczyźnie zespolonej
a)
\(\displaystyle{ \{ z: |z|^2\leq 2imz \} \\
z=a+bi, \,\,\,\, imz=b, \,\,\,\, |z|^2=a^2+b^2 \\
a^2+b^2 \leq 2b \\
a^2+b^2-2b \leq 0 \\
a^2+(b-1)^2 \leq 1}\)
Okrąg o promieniu 1 i środku (0,1)
b)
\(\displaystyle{ z^6+8i=0 \\
z^6=-8i \\
z^6=8(cos \frac{3\pi}{2} + i sin \frac{3\pi}{2}) \\
z _k= \sqrt 2 (cos \frac{3+4k}{12} \pi + i sin \frac{3+4k}{12}\pi )\,\,\,\, , k \in \{ 0,1,2,3,4,5 \}}\)
Punkty na okręgu o środku w początku układu i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt 2}\)
Punkty wspólne: najwygodniej graficznie
\(\displaystyle{ A \cap B= \{ z_1, z_2 \} \\
z_1=\sqrt 2 (cos \frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}) \\
z_2=\sqrt 2 (cos \frac{23\pi}{12}+isin\frac{23\pi}{12}) \\}\)
O ile się nigdzie nie pomyliłem
\(\displaystyle{ \{ z: |z|^2\leq 2imz \} \\
z=a+bi, \,\,\,\, imz=b, \,\,\,\, |z|^2=a^2+b^2 \\
a^2+b^2 \leq 2b \\
a^2+b^2-2b \leq 0 \\
a^2+(b-1)^2 \leq 1}\)
Okrąg o promieniu 1 i środku (0,1)
b)
\(\displaystyle{ z^6+8i=0 \\
z^6=-8i \\
z^6=8(cos \frac{3\pi}{2} + i sin \frac{3\pi}{2}) \\
z _k= \sqrt 2 (cos \frac{3+4k}{12} \pi + i sin \frac{3+4k}{12}\pi )\,\,\,\, , k \in \{ 0,1,2,3,4,5 \}}\)
Punkty na okręgu o środku w początku układu i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt 2}\)
Punkty wspólne: najwygodniej graficznie
\(\displaystyle{ A \cap B= \{ z_1, z_2 \} \\
z_1=\sqrt 2 (cos \frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}) \\
z_2=\sqrt 2 (cos \frac{23\pi}{12}+isin\frac{23\pi}{12}) \\}\)
O ile się nigdzie nie pomyliłem