Obliczyć częsc urojona

romek510 · Post autor: **romek510** » 10 lut 2011, o 16:33

Obliczyc \(\displaystyle{ Imz}\) jesli \(\displaystyle{ z= (1- \sqrt{3i})^{113} \cdot i^{13}}\)

Ma ktos pomysł jak to zrobić??

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 10 lut 2011, o 16:39

Najpierw potęgowanie liczb zespolonych ze wzoru de Moivre'a a potem mnożenie. Troszkę jest liczenia ale chyba szybko powinno pójść.

romek510 · Post autor: **romek510** » 10 lut 2011, o 16:46

Hmm nie ma pojęcia jak to zrobić mogłbyś bardziej to wyjaśnić lub pokazać??

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 10 lut 2011, o 17:01

Niech
\(\displaystyle{ z_1=1-\sqrt{3}i\\
z_2=i}\)

Zatem mamy:

\(\displaystyle{ z=z_1^{113}z_2^{13}}\)

ale wiemy, że:

\(\displaystyle{ i^2=-1}\).

Zatem

\(\displaystyle{ z_2^{13}=i^{13}=i^{12+1}=i^{12}i=i^{2\times 6}i=\left(i^2\right)^6i=\left(-1\right)^6i=i}\)

Teraz tylko skorzystać ze wzoru de Moivre'a na potęgowanie liczby zespolonej i znaleźć \(\displaystyle{ z_1^{113}}\), a potem mnożenie liczb i już...

romek510 · Post autor: **romek510** » 21 lut 2011, o 11:58

Czyli obliczam najpierw moduł z czyli \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{a ^{2}+ b ^{2} }= \sqrt{1 ^{2}+ (-3)^{2} } = \sqrt{1+3} = \sqrt{4}=2}\)

Skoro mamy już |z| to podstawiamy do wzoru de Moivre'a:
\(\displaystyle{ |z| ^{n}( \cos n \varphi + i\sin n \varphi)=2 ^{113}( \cos 113 \varphi + i\sin 113 \varphi)}\) i co dalej, bo nadal nie potrafie sobie z tym poradzić.