Liczba zespolona na postać trygonometryczną oraz algebr.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Jacek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 10 lut 2011, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polkowice

Liczba zespolona na postać trygonometryczną oraz algebr.

Post autor: Jacek1991 »

Witam.
Wykonywałem zadania z list, które mam, ale na egzaminie pojawiło się zadanie zupełnie inne.
Oto ten przykład:

\(\displaystyle{ w = cos \frac{\pi}{4} - i sin \frac{\pi}{4}}\)

mam to zapisać w postaci trygonometrycznej a następnie przedstawić w postaci algebraicznej \(\displaystyle{ w^{20}}\)

Proszę o pomoc. Mam swoje tropy, ale nie wiem czy w dobrą stronę brnę dlatego, że takiego typu przykładów nie robiliśmy.
Ostatnio zmieniony 10 lut 2011, o 15:40 przez tometomek91, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Liczba zespolona na postać trygonometryczną oraz algebr.

Post autor: Afish »

No to pokaż swoje tropy i zaraz ocenimy, czy trafnie myślisz.
Awatar użytkownika
sebnorth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 635
Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Pomógł: 201 razy

Liczba zespolona na postać trygonometryczną oraz algebr.

Post autor: sebnorth »

\(\displaystyle{ w= cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4} = cos \frac{-\pi}{4} + i sin \frac{-\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ w^{20} = \cos (20 \cdot \frac{-\pi}{4}) + i \sin(20 \cdot \frac{-\pi}{4} ) = \cos(-5\pi) + i \sin (-5\pi)}\)

itd
lysy1616
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 10 lut 2011, o 14:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Internet

Liczba zespolona na postać trygonometryczną oraz algebr.

Post autor: lysy1616 »

Według mnie ten przyklad jest w postaci algebraicznej ponieważ \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi }{4}}\) jest tak samo dobrą liczbą jak 3, może to trochę skomplikowanie wygląda

Na początek liczysz moduł z "w" tj \(\displaystyle{ \left| w\right|= \sqrt{ \left(\sin \frac{\pi }{4} \right) ^{2} + \left(\cos \frac{\pi }{4} \right) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ -\sin \frac{\pi }{4}= - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi }{4}= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

tak więc moduł to będzie wynosić 1 podnieś do kwadratu i dodaj a następnie zpierwiastkuj

teraz na podst. modułu i "x" i "y" (z=x+iy)

wyliczasz na podst. poniższych wzorów \(\displaystyle{ \varphi}\)
\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{x }{\left| w\right|}}\)

\(\displaystyle{ \sin \varphi = \frac{y }{\left| w\right|}}\) (tu pamiętamy o minusie przy y)

następnie podstawiasz do wzoru na postać trygonometryczną do potęgi i dalej jakoś se poradzisz
Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Liczba zespolona na postać trygonometryczną oraz algebr.

Post autor: Afish »

lysy1616 pisze:Według mnie ten przyklad jest w postaci algebraicznej ponieważ \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi }{4}}\) jest tak samo dobrą liczbą jak 3, może to trochę skomplikowanie wygląda :)
Tylko że tam jest minusik, a w postaci trygonometrycznej ma być plus.
lysy1616
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 10 lut 2011, o 14:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Internet

Liczba zespolona na postać trygonometryczną oraz algebr.

Post autor: lysy1616 »

Chyba nie podstawisz z postaci algebraicznej (jak \(\displaystyle{ z=x+iy}\)) y do postaci trygonometrycznej jako \(\displaystyle{ \sin \varphi}\)????
ten minus wykorzystujesz do policzenia modułu z "z" oraz kąta \(\displaystyle{ \varphi}\) a potem do postaci trygonometrycznej wstawiasz kąt \(\displaystyle{ \varphi}\).
Ostatnio zmieniony 12 lut 2011, o 20:28 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
ODPOWIEDZ